Seja um componente mecânico submetido a vários esforços mecânicos e adequadamente vinculado no espaço. Em algum ponto de seu contorno (superfície externa), é instalada uma roseta qualquer. Em geral, o plano tangente ao sólido nesse ponto de instalação é definido como sendo plano x1-x2 e, portanto, a direção x3 é normal à superfície. Após a leitura das deformações em cada extensômetro, pergunta-se:
a. Mostre as equações que possibilitam a obtenção das 3 deformações no plano tangente (x1-x2);
b. Obtenha a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento material na direção normal ao plano;
c. Mostre as equações (justificando) que possibilitam obter a matriz de tensões completa no ponto (matriz 3x3);
d. Como obter a matriz completa de tensões no ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um componente mecânico que tá sofrendo vários esforços e está bem fixado no espaço. Em um ponto da superfície desse componente, tem uma roseta instalada que mede deformações usando extensômetros. O plano tangente nesse ponto é o plano , e a direção é normal à superfície. Precisamos responder algumas perguntas sobre as deformações e tensões nesse ponto. Para resolver isso, vamos usar conceitos de resistência dos materiais, tensor de deformações e tensor de tensões.

Passo 2

Parte a: Vamos mostrar as equações que permitem obter as 3 deformações no plano tangente .
Primeiro, sabemos que uma roseta com extensômetros pode medir diferentes deformações em direções específicas. No plano , as deformações são:
  1. : Deformação na direção .
  2. : Deformação na direção .
  3. : Deformação de cisalhamento no plano .
Usamos essas medidas para montar o tensor de deformações no plano.

Passo 3

O tensor de deformações no plano varepsilon = varepsilonx1 & gammax1x22 gammax1x22 & varepsilonx2 é dado por:
Aqui, dividimos a deformação de cisalhamento por 2 porque ela se distribui nas direções e .

Passo 4

Parte b: Agora, vamos obter a equação que fornece a deformação longitudinal de um filamento na direção normal ao plano, ou seja, na direção varepsilonx3 = -nu (varepsilonx1 + varepsilonx2) .
A deformação na direção ( ) pode ser relacionada às deformações no plano usando a condição de compatibilidade ou considerando que o material é incompressível. Porém, geralmente assumimos que:
Onde é o coeficiente de Poisson, que relaciona as deformações laterais com a deformação longitudinal.

Passo 5

Parte c: Vamos mostrar as equações que possibilitam obter a matriz completa de tensões no ponto, ou seja, uma matriz sigma = sigmax1 & sigmax1x2 & sigmax1x3 sigmax1x2 & sigmax2 & sigmax2x3 sigmax1x3 & sigmax2x3 & sigmax3 .
Primeiro, precisamos relacionar as deformações às tensões usando as leis de Hooke para um material isotrópico. O tensor de tensões sigmaij = lambda de é dado por:
Para determinar cada componente, usamos as relações de Hooke:
Onde e são os módulos de Lamé, é o delta de Kronecker, e são as componentes do tensor de deformações.

Passo 6

Parte d: Para obter a matriz completa de tensões no ponto, seguimos estes passos:
  1. Medir as deformações: Usar a roseta para obter varepsilon = varepsilonx1 & gammax1x22 & 0 gammax1x22 & varepsilonx2 & 0 0 & 0 & varepsilonx3 , e .
  2. Calcular : Usar a equação da parte b.
  3. Montar o tensor de deformações completo:
  1. Aplicar as leis de Hooke: Usar as relações para cada componente de .
  2. Montar a matriz de tensões completa: Substituir , , e nas equações de Hooke para obter todos os elementos de .

Resposta

Seguindo esses passos, conseguimos obter a matriz completa de tensões no ponto considerando as deformações medidas pela roseta e aplicando as relações da resistência dos materiais. Assim, respondemos todas as partes do exercício de forma detalhada e didática!

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