Para um problema de estado plano de tensões, obtenha MATEMATICAMENTE as superfícies de falha material segundo os critérios de Tresca e de von Mises. Qual é o critério mais conservador. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente, num cenário de estado plano de tensões, encontrar matematicamente as superfícies de falha segundo os critérios de Tresca e de von Mises. Além disso, precisamos dizer qual desses critérios é mais conservador e justificar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre tensões principais, estado de tensão plano, e os próprios critérios de Tresca e von Mises.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em estado plano de tensões, uma das tensões, geralmente a perpendicular ao plano, é zero. Ou seja, se estamos trabalhando no plano XY, a tensão perpendicular σ_z = 0.

Passo 3

Agora, vamos encontrar as tensões principais. As tensões principais são as tensões máximas e mínimas que atuam em direções específicas onde não há cisalhamento. Para o estado plano de tensões, as tensões principais sigma1,2 = sigmax + sigmay2 pm raiz( sigmax - sigmay2 )^2 + tauxy^2 e podem ser calculadas usando as seguintes fórmulas:
Onde e são as tensões normais nos eixos x e y, e é a tensão de cisalhamento no plano XY.

Passo 4

Vamos ao critério de Tresca. Esse critério afirma que a falha ocorre quando a diferença entre as tensões principais atinge um valor máximo. A condição de falha de Tresca é dada por:
|sigma1 - sigma2| = sigmau<
Aqui, é a tensão de escoamento do material.

Passo 5

Agora, o critério de von Mises. Esse critério baseia-se na energia de distorção e diz que a falha ocorre quando a tensão equivalente de von Mises atinge a tensão de escoamento. A fórmula para a tensão equivalente de von Mises sigmav = raizsigmax^2 - sigmax sigmay + sigmay^2 + 3tauxy^2 em estado plano de tensões é:
sigmav = sigmau<
A condição de falha de von Mises é:

Passo 6

Vamos agora representar essas condições como superfícies de falha. Para Tresca, a superfície é um hexágono regular no espaço das tensões principais, já que a diferença entre e é constante no limite de falha.
Para von Mises, a superfície de falha é um cilindro circular no espaço das tensões principais, pois envolve uma combinação quadrática das tensões.

Passo 7

Finalmente, qual dos critérios é mais conservador? O critério de Tresca é mais conservador que o de von Mises. Isso porque a superfície de Tresca está contida dentro da superfície de von Mises, o que significa que para o mesmo estado de tensão, Tresca prevê a falha mais cedo.

Resposta

As superfícies de falha em estado plano de tensões segundo o critério de Tresca são representadas por um hexágono regular no espaço das tensões principais, enquanto segundo o critério de von Mises são representadas por um cilindro circular. O critério de Tresca é o mais conservador, pois prevê a falha em um estado de tensão menor que o critério de von Mises.

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