Para os estados planos de tensões dados abaixo, obtenha os coeficientes de segurança considerando falha frágil e represente os pontos de tensões na superfície de falha do material segundo o critério de Rankine. Tensão de ruptura por tração: sigma rup |t r a=150, MPa. Tensão de ruptura por compressão: sigma rup | comp =500, MPa. Estados de tensões:
rlrl Ponto P1: & T & =[ccc -20, & -60, & 0, -60, & 60, & 0, 0, & 0, & 0 ] MPa & Ponto P2: T=[ccc -10, & 0, & 60, 0, & 0, & 0, 60, & 0, & 80, ] MPa Ponto P3: T & =[ccc 0, & 0, & 0, 0, & -110, & 0, 0, & 0, & 0, ] MPa & Ponto P4: T=[ccc 0, & 0, & 110, 0, & 0, & 0, 110, & 0, & 0, ] MPa

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado me pede para calcular os coeficientes de segurança para alguns estados de tensão e depois representar esses pontos na superfície de falha segundo o critério de Rankine. O conteúdo que vamos usar aqui inclui teorias de tensões principais e critérios de falha, especificamente o critério de Rankine para falha frágil. Para resolver isso, vamos precisar das tensões de ruptura por tração e compressão, além das matrizes de tensão para os quatro pontos dados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o critério de Rankine. Esse critério considera que a falha ocorre quando a tensão máxima principal atinge a tensão de ruptura do material. Ou seja, se a maior tensão principal for igual ou maior que a tensão de ruptura por tração ou compressão, o material falha. Por isso, nosso objetivo é encontrar as tensões principais de cada ponto e comparar com as tensões de ruptura fornecidas.

Passo 3

Para cada ponto TP1 = -20 & -60 & 0 -60 & 60 & 0 0 & 0 & 0 MPa , precisamos calcular as tensões principais, que são os autovalores da matriz de tensão. Vou fazer isso para cada ponto individualmente.

Cálculo das Tensões Principais

Ponto sigma1 = 80 MPa, sigma2 = -80 MPa, sigma3 = 0 MPa :
A matriz de tensão é:
TP2 = -10 & 0 & 60 0 & 0 & 0 60 & 0 & 80 MPa
Calculando os autovalores dessa matriz, encontramos as tensões principais:
sigma1 = 85 MPa, sigma2 = -85 MPa, sigma3 = 0 MPa
Ponto TP3 = 0 & 0 & 0 0 & -110 & 0 0 & 0 & 0 MPa :
A matriz de tensão é:
sigma1 = 0 MPa, sigma2 = -110 MPa, sigma3 = 0 MPa
Os autovalores são:
TP4 = 0 & 0 & 110 0 & 0 & 0 110 & 0 & 0 MPa
Ponto sigma1 = 155 MPa, sigma2 = -155 MPa, sigma3 = 0 MPa :
A matriz de tensão é:
Os autovalores são:
Ponto :
A matriz de tensão é:
Os autovalores são:

Passo 4

Agora que temos as tensões principais para cada ponto, vamos calcular os coeficientes de segurança. O coeficiente de segurança n = sigmarup|sigmaaplicada| é dado pela razão entre a tensão de ruptura e a tensão aplicada. Para falha frágil segundo Rankine, consideramos tanto a tração quanto a compressão.
A fórmula para o coeficiente de segurança é:
ntra = 15080 = 1,875
Onde:
  • Para tração: ncomp = 50080 = 6,25
  • Para compressão: ntra = 15085 approx 1,765
Vamos aplicar isso a cada ponto usando a maior tensão de tração e compressão.
Ponto ncomp = 50085 approx 5,882 :
  • Tensão máxima de tração: ntra = infty (sem tração)
  • Tensão máxima de compressão: ncomp = 500110 approx 4,545
  • Coeficiente de segurança:
ntra = 150155 approx 0,968
ncomp = 500155 approx 3,226
Ponto :
  • Tensão máxima de tração:
  • Tensão máxima de compressão:
  • Coeficiente de segurança:
Ponto :
  • Tensão máxima de tração: (não há tração)
  • Tensão máxima de compressão:
  • Coeficiente de segurança:
çã
Ponto :
  • Tensão máxima de tração:
  • Tensão máxima de compressão:
  • Coeficiente de segurança:

Passo 5

Com os coeficientes de segurança calculados, vamos interpretar os resultados:
  • Coeficiente de segurança : Indica que a estrutura está segura, pois a tensão aplicada é menor que a de ruptura.
  • Coeficiente de segurança : Indica risco de falha, já que a tensão aplicada excede a de ruptura.
Observando os resultados:
  • Pontos e : Ambos têm coeficientes de segurança maiores que 1 para compressão e próximos ou acima de 1 para tração, indicando segurança.
  • Ponto : Tem apenas segurança em compressão, pois não há tração.
  • Ponto : Possui para tração, indicando risco de falha, mas está seguro em compressão.

Resposta

Os coeficientes de segurança para os pontos são:
  • Ponto : ,
  • Ponto : ,
  • Ponto : ,
  • Ponto : ,
Na representação gráfica segundo o critério de Rankine, os pontos , e se encontram dentro ou no limite da superfície de falha, indicando segurança, enquanto o ponto está fora da superfície de falha em tração, indicando risco de falha frágil nessa direção.

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