Os raios das engrenagens
e
valem todos 45 rim e o raio da engrenagem externa
vale 135 mm . Sabendo que
tem velocidade angular de 120 rpm , no sentido horário, e que a engrenagem central
tem velocidade angular de 150 rpm , também no sentido horário, determine (a) a velocidade angular de cada engrenagem e (b) a velocidade do suporte da conexão das engrenagens.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos cinco engrenagens: A, B, C, D (todas com raio de 45 mm) e E (raio de 135 mm). Sabemos as velocidades angulares de E e A, ambas no sentido horário. Precisamos determinar:
a) As velocidades angulares de cada engrenagem.
b) A velocidade do suporte da conexão das engrenagens.
b) A velocidade do suporte da conexão das engrenagens.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática das engrenagens, especificamente a relação entre os raios e as velocidades angulares quando engrenagens estão em contato.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre as velocidades angulares de engrenagens que estão em contato. Quando duas engrenagens estão meshing (engatando), a velocidade tangencial na borda de contato deve ser a mesma para ambas. A velocidade tangencial (
) pode ser calculada pela fórmula:
onde:
-
é o raio da engrenagem, -
é a velocidade angular.
Como as velocidades tangenciais são iguais:
Isso nos permite relacionar as velocidades angulares das engrenagens em contato.
Passo 3
Vamos analisar a conexão entre a engrenagem E e a engrenagem A. Sabemos que:
- Raio de E (
) = 135 mm - Velocidade angular de E (
) = 120 rpm (sentido horário) - Raio de A (
) = 45 mm - Velocidade angular de A (
) = 150 rpm (sentido horário)
Aplicando a relação
:
Vamos calcular ambos os lados:
Aqui percebemos que há uma inconsistência, o que indica que precisamos revisar as conexões entre as engrenagens.
Passo 4
Na verdade, parece que as engrenagens A e E não estão diretamente em contato, mas sim através das engrenagens B, C e D. Então, precisamos considerar a sequência de transmissão.
Cada par de engrenagens em contato seguirá a relação
. Como temos engrenagens com raios iguais (A, B, C, D), suas velocidades angulares serão iguais ou opostas dependendo da direção de rotação.
Vamos considerar que:
- Engrenagem A está conectada à engrenagem B.
- Engrenagem B está conectada à engrenagem C.
- Engrenagem C está conectada à engrenagem D.
- Engrenagem D está conectada à engrenagem E.
Passo 5
Como todas as engrenagens A, B, C e D têm o mesmo raio, elas terão a mesma velocidade angular, mas alternando o sentido de rotação devido ao contato. Ou seja, se uma gira no sentido horário, a próxima gira no sentido anti-horário, e assim por diante.
Dado que a engrenagem A gira no sentido horário com
, então:
- Engrenagem B gira no sentido anti-horário com
. - Engrenagem C gira no sentido horário com
. - Engrenagem D gira no sentido anti-horário com
.
Agora, a engrenagem D está em contato com a engrenagem E.
Passo 6
Aplicando a relação
:
Sabemos que:
Portanto:
Calculando:
Aqui percebemos novamente uma inconsistência, o que sugere que a engrenagem E está sendo acionada por outra engrenagem ou que há necessidade de considerar a direção da rotação.
Passo 7
Vamos reconsiderar a direção da rotação. Cada vez que duas engrenagens estão em contato, elas giram em sentidos opostos. Então, se a engrenagem D gira no sentido anti-horário, a engrenagem E girará no sentido horário.
Agora, aplicando a relação correta:
Resolvendo para
:
Portanto, a velocidade angular da engrenagem E é de 50 rpm no sentido horário.
Passo 8
Agora, vamos responder aos itens da questão:
a) As velocidades angulares de cada engrenagem são:
- Engrenagem A:
(horário) - Engrenagem B:
(anti-horário) - Engrenagem C:
(horário) - Engrenagem D:
(anti-horário) - Engrenagem E:
(horário)
Passo 9
Para determinar a velocidade do suporte da conexão das engrenagens, precisamos considerar que o suporte movimenta-se com a velocidade tangencial da engrenagem E.
A velocidade tangencial (
) da engrenagem E é dada por:
Convertendo
de rpm para rad/s:
Agora calculando
:
Resposta
a) As velocidades angulares são:
- Engrenagem A:
(horário) - Engrenagem B:
(anti-horário) - Engrenagem C:
(horário) - Engrenagem D:
(anti-horário) - Engrenagem E:
(horário)
b) A velocidade do suporte da conexão das engrenagens é aproximadamente
.