Os raios das engrenagens A, B, C e D valem todos 45 rim e o raio da engrenagem externa E vale 135 mm . Sabendo que E tem velocidade angular de 120 rpm , no sentido horário, e que a engrenagem central A tem velocidade angular de 150 rpm , também no sentido horário, determine (a) a velocidade angular de cada engrenagem e (b) a velocidade do suporte da conexão das engrenagens.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos cinco engrenagens: A, B, C, D (todas com raio de 45 mm) e E (raio de 135 mm). Sabemos as velocidades angulares de E e A, ambas no sentido horário. Precisamos determinar:
a) As velocidades angulares de cada engrenagem.
b) A velocidade do suporte da conexão das engrenagens.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática das engrenagens, especificamente a relação entre os raios e as velocidades angulares quando engrenagens estão em contato.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre as velocidades angulares de engrenagens que estão em contato. Quando duas engrenagens estão meshing (engatando), a velocidade tangencial na borda de contato deve ser a mesma para ambas. A velocidade tangencial ( v = r cdot omega ) pode ser calculada pela fórmula:
r1 cdot omega1 = r2 cdot omega2
onde:
  • é o raio da engrenagem,
  • é a velocidade angular.
Como as velocidades tangenciais são iguais:
Isso nos permite relacionar as velocidades angulares das engrenagens em contato.

Passo 3

Vamos analisar a conexão entre a engrenagem E e a engrenagem A. Sabemos que:
  • Raio de E ( 135 cdot 120 = 45 cdot 150 ) = 135 mm
  • Velocidade angular de E ( 16200 = 6750 ) = 120 rpm (sentido horário)
  • Raio de A ( ) = 45 mm
  • Velocidade angular de A ( ) = 150 rpm (sentido horário)
Aplicando a relação :
Vamos calcular ambos os lados:
Aqui percebemos que há uma inconsistência, o que indica que precisamos revisar as conexões entre as engrenagens.

Passo 4

Na verdade, parece que as engrenagens A e E não estão diretamente em contato, mas sim através das engrenagens B, C e D. Então, precisamos considerar a sequência de transmissão.
Cada par de engrenagens em contato seguirá a relação . Como temos engrenagens com raios iguais (A, B, C, D), suas velocidades angulares serão iguais ou opostas dependendo da direção de rotação.
Vamos considerar que:
  • Engrenagem A está conectada à engrenagem B.
  • Engrenagem B está conectada à engrenagem C.
  • Engrenagem C está conectada à engrenagem D.
  • Engrenagem D está conectada à engrenagem E.

Passo 5

Como todas as engrenagens A, B, C e D têm o mesmo raio, elas terão a mesma velocidade angular, mas alternando o sentido de rotação devido ao contato. Ou seja, se uma gira no sentido horário, a próxima gira no sentido anti-horário, e assim por diante.
Dado que a engrenagem A gira no sentido horário com , então:
  • Engrenagem B gira no sentido anti-horário com .
  • Engrenagem C gira no sentido horário com .
  • Engrenagem D gira no sentido anti-horário com .
Agora, a engrenagem D está em contato com a engrenagem E.

Passo 6

Aplicando a relação 45 cdot 150 = 135 cdot 120 :
Sabemos que:
  • 6750 = 16200
Portanto:
Calculando:
Aqui percebemos novamente uma inconsistência, o que sugere que a engrenagem E está sendo acionada por outra engrenagem ou que há necessidade de considerar a direção da rotação.

Passo 7

Vamos reconsiderar a direção da rotação. Cada vez que duas engrenagens estão em contato, elas giram em sentidos opostos. Então, se a engrenagem D gira no sentido anti-horário, a engrenagem E girará no sentido horário.
Agora, aplicando a relação correta:
rD cdot omegaD = rE cdot omegaE
45 cdot 150 = 135 cdot omegaE
Resolvendo para omegaE = 45 cdot 150135 :
omegaE = 6750135
omegaE = 50, rpm
Portanto, a velocidade angular da engrenagem E é de 50 rpm no sentido horário.

Passo 8

Agora, vamos responder aos itens da questão:
a) As velocidades angulares de cada engrenagem são:
  • Engrenagem A: (horário)
  • Engrenagem B: (anti-horário)
  • Engrenagem C: (horário)
  • Engrenagem D: (anti-horário)
  • Engrenagem E: (horário)

Passo 9

Para determinar a velocidade do suporte da conexão das engrenagens, precisamos considerar que o suporte movimenta-se com a velocidade tangencial da engrenagem E.
A velocidade tangencial ( v = rE cdot omegaE ) da engrenagem E é dada por:
omegaE = 50, rpm = 50 times 2pi60 approx 5.236, rad/s
Convertendo v = 0.135, m cdot 5.236, rad/s approx 0.706, m/s de rpm para rad/s:
Agora calculando :

Resposta

a) As velocidades angulares são:
  • Engrenagem A: (horário)
  • Engrenagem B: (anti-horário)
  • Engrenagem C: (horário)
  • Engrenagem D: (anti-horário)
  • Engrenagem E: (horário)
b) A velocidade do suporte da conexão das engrenagens é aproximadamente .

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