Utilizando a definição de rotacional de um campo vetorial qualquer, obtenha a expressão para essa variável considerando um campo vetorial de deslocamentos genérico 3D. Compare esse resultado com as expressões para as rotações médias obtidas no exercício anterior e com a parcela antissimétrica do gradiente dos deslocamentos (exercício 24, item c).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a definição de rotacional (ou curl) de um campo vetorial qualquer e encontrar a expressão para essa variável considerando um campo vetorial de deslocamentos genérico em 3D. Depois, vamos comparar esse resultado com as rotações médias que fizemos no exercício anterior e com a parte antissimétrica do gradiente dos deslocamentos do exercício 24, item c.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com cálculo vetorial, especificamente com o rotacional (curl) de um campo vetorial e o gradiente de deslocamentos. Precisaremos conhecer as definições e propriedades dessas operações matemáticas para resolver o exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, denotado por ∇×, mede a tendência de rotação de um campo vetorial em torno de um ponto. Para um campo vetorial F = (F₁, F₂, F₃), o rotacional é dado por:
nabla times F = ( partial F3partial y - partial F2partial z, partial F1partial z - partial F3partial x, partial F2partial x - partial F1partial y )

Passo 3

Agora, consideremos um campo vetorial de deslocamentos genérico em 3D, denotado por u = (u₁, u₂, u₃). Queremos encontrar o rotacional desse campo, ou seja, ∇×u. Aplicando a fórmula do rotacional que vimos:
nabla times u = ( partial u3partial y - partial u2partial z, partial u1partial z - partial u3partial x, partial u2partial x - partial u1partial y )
Então, essa é a expressão para o rotacional do campo vetorial de deslocamentos genérico em 3D.

Passo 4

Vamos agora comparar esse resultado com as rotações médias obtidas no exercício anterior. Supondo que no exercício anterior tenhamos encontrado uma expressão para rotações médias que envolva componentes semelhantes às derivadas parciais do gradiente de u, podemos ver que o rotacional captura exatamente essas diferenças de derivadas, representando a rotação efetiva do campo.

Passo 5

Finalmente, vamos comparar com a parcela antissimétrica do gradiente dos deslocamentos no exercício 24, item c. O gradiente dos deslocamentos é uma matriz formada pelas derivadas parciais de u:
nabla u = partial u1partial x & partial u1partial y & partial u1partial z partial u2partial x & partial u2partial y & partial u2partial z partial u3partial x & partial u3partial y & partial u3partial z
A parte antissimétrica desse gradiente é:
12 ( nabla u - (nabla u)^T ) = 12 0 & partial u1partial y - partial u2partial x & partial u1partial z - partial u3partial x partial u2partial x - partial u1partial y & 0 & partial u2partial z - partial u3partial y partial u3partial x - partial u1partial z & partial u3partial y - partial u2partial z & 0
Observamos que os componentes dessa parcela antissimétrica correspondem exatamente às componentes do rotacional de u que calculamos anteriormente, multiplicadas por 2. Isso mostra que o rotacional está relacionado à parte rotacional (antissimétrica) do gradiente dos deslocamentos.

Resposta

Encontramos que o rotacional (∇×u) de um campo vetorial de deslocamentos genérico em 3D é dado por:
nabla times u = ( partial u3partial y - partial u2partial z, partial u1partial z - partial u3partial x, partial u2partial x - partial u1partial y )
Além disso, esse rotacional está diretamente relacionado à parcela antissimétrica do gradiente dos deslocamentos, pois os componentes do rotacional correspondem às diferenças de derivadas presentes na parte antissimétrica dessa matriz. Isso também se alinha com as expressões de rotações médias obtidas anteriormente, confirmando a consistência entre essas abordagens.

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