Sejam o estado de tensões T e as direções normais N, fornecidos a seguir. Para esses problemas, rascunhe as soluções e obtenha:
a. Vetor tensão atuante na face definida pela direção N;
b. intensidade da tensão normal à face;
c. intensidade da tensão cisalhante à essa face;
d. vetor tensão normal à face;
e. vetor tensão cisalhante à face.
T=[rrr -20, & -60, & 40, -60, & 60, & 15, 40, & 15, & 40, ] MPa
14.1) Direção: N=lll1,0,0,^top;
14.2) Direção: N=lll0, & 0,^top;
14.3) Direção: N=3,-4,0,^top.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar um estado de tensões representado por uma matriz e calcular várias coisas baseadas em direções normais . A matéria envolvida aqui é de Mecânica dos Solidos, especificamente sobre tensões em materiais. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o vetor tensão atuante, a intensidade das tensões normais e cisalhantes, e também os vetores dessas tensões em relação à face definida por .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o vetor tensão atuante na face definida por T = T cdot N . Esse vetor, chamado de vetor tensão , é calculado multiplicando a matriz de tensões pelo vetor normal . A fórmula fica assim:
Vamos fazer isso para cada direção normal fornecida.

Passo 3

Vamos resolver para a primeira direção normal:
14.1) Direção: 1 0 0
Multiplicando a matriz T = -20 & -60 & 40 -60 & 60 & 15 40 & 15 & 40 1 0 0 = -20 times 1 + (-60) times 0 + 40 times 0 -60 times 1 + 60 times 0 + 15 times 0 40 times 1 + 15 times 0 + 40 times 0 = -20 -60 40 MPa pelo vetor :

Passo 4

Agora, vamos achar a intensidade da tensão normal à face. Isso é simplesmente o produto escalar do vetor tensão sigma = T cdot N = (-20)(1) + (-60)(0) + 40(0) = -20 MPa com o vetor normal :

Passo 5

A intensidade da tensão cisalhante é calculada usando a fórmula:
tau = raiz|T|^2 - sigma^2
Primeiro, calculamos o módulo de |T| = raiz(-20)^2 + (-60)^2 + 40^2 = raiz400 + 3600 + 1600 = raiz5600 approx 74,83 MPa :
tau = raiz74,83^2 - (-20)^2 = raiz5600 - 400 = raiz5200 approx 72,11 MPa
Então,

Passo 6

O vetor tensão normal à face é simplesmente o vetor Tn = sigma cdot N = -20 cdot 1 0 0 = -20 0 0 MPa multiplicado pela tensão normal :

Passo 7

O vetor tensão cisalhante é a diferença entre o vetor tensão total Tc = T - Tn = -20 -60 40 - -20 0 0 = 0 -60 40 MPa e o vetor tensão normal :

Resposta

Para a direção 1 0 0 :
a. Vetor tensão atuante: -20 -60 40 MPa
b. Intensidade da tensão normal: -20 0 0 MPa
c. Intensidade da tensão cisalhante: 0 -60 40 MPa
d. Vetor tensão normal: MPa
e. Vetor tensão cisalhante: MPa

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