Mostre que o tensor de tensões é sempre simétrico (com exceção de situações totalmente peculiares e não estudadas em nosso curso).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o tensor de tensões é sempre simétrico, a menos que aconteçam situações bem estranhas que não vamos estudar aqui. Vamos precisar entender o que é um tensor de tensões, algumas leis da física como o equilíbrio das forças e usar um pouco de matemática com vetores e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o tensor de tensões. Ele é uma maneira de representar as forças internas que atuam em diferentes direções dentro de um material. Imagine que você tem um pedaço de metal e quer saber como as forças estão distribuídas dentro dele; o tensor de tensões faz esse papel.
Passo 3
O tensor de tensões é representado por uma matriz 3x3, onde cada elemento
indica a força na direção
atuando na superfície perpendicular à direção
. Por exemplo,
seria a força na direção x agindo na superfície perpendicular a y.
Passo 4
Agora, para mostrar que esse tensor é simétrico, ou seja, que
para todos os i e j, vamos usar o princípio do equilíbrio das forças. Se o corpo está em equilíbrio, a soma das forças e dos momentos deve ser zero.
Passo 5
Vamos considerar pequenas áreas no material e analisar as forças que atuam sobre elas. Ao aplicar as condições de equilíbrio, percebemos que os momentos criados pelas forças devem se cancelar. Isso só acontece se as componentes do tensor de tensões forem iguais na forma
.
Passo 6
Além disso, na ausência de torques externos ou momentos aplicados, não há razão para que o tensor de tensões tenha componentes antissimétricas. Ou seja, sem forças torsoras, as tensões cruzadas devem ser iguais, reforçando a simetria do tensor.
Resposta
Portanto, demonstramos que o tensor de tensões é sempre simétrico, ou seja,
.