Achar a deflexão δ , no meio da viga mostrada na Fig 6-19a, dividindo a viga em seis intervalos iguais. Comparar o valor achado com o resultado obtido no Ex. 1, Art. 6.7.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão no meio da viga da Fig. 6-19a, que é exatamente a mesma resolvida no Exemplo 1!

A única diferença aqui será no número de intervalos! Por dividirmos a viga em 6 intervalos iguais (comprimento L / 6 ), teremos 7 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor.

Para uma viga simplesmente apoiada e submetida a um carregamento uniforme q , a equação do momento fletor será:

M = q L x 2 - q x 2 2

Já a rigidez da viga E I é constante para todos os pontos.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 1, 2 e 3, o nosso sistema de equação será:

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - h 2 M 3 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 6 2 q L L 6 2 - q L 6 2 2 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 6 2 q L L 3 2 - q L 3 2 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - L 6 2 q L L 2 2 - q L 2 2 2 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - 5 q L 4 2592 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - q L 4 324 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - q L 4 288 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, mas por que não montamos o sistema para os pontos 4 e 5?

Simples, pela simetria do problema! Com isto, nós conseguimos afirmar que v 4 = v 2 !

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 . Com isto, nosso sistema será:

v 2 - 2 v 1 = - 5 q L 4 2592 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - q L 4 324 E I v 2 - v 3 = - q L 4 576 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 3 = 23 q L 4 1728 E I

δ = v 3 = 0,01331 q L 4 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,01331 q L 4 E I

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