Enunciado

Uma barra de aço ( E = 21000   k g f / m m 2 ) , com a forma de um troco de cone de seção transversal circular, comprimento L = 3   m , suporta uma carga de tração P = 5000   k g f . Na extremidade maior, o diâmetro é d 1 = 50   m m e na menor d 2 = 25   m m . Calcular o alongamento da barra devido à força P .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão é muitooo semelhante a questão 1.5-8. A grande diferença é a que estamos trabalhando com um tronco de cone, ao invés de uma seção retangular de espessura e .

Relembrando, para calcularmos o alongamento da barra, temos que utilizar a seguinte relação:

δ = ∫ 0 L d δ = ∫ 0 L P x E A x d x

Sendo a força axial P x uma constante e igual a P .

OBS: a direção x é a direção do comprimento L da barra!!!

Passo 2

Vamos agora determinar a relação para a área da barra.

Como a barra tem seção circular, a sua área será:

A x = π d x 2 4

Sendo o diâmetro d x uma função que varia linearmente de d 1 até d 2 . Portanto, como tem um comportamento linear, podemos escrevê-lo através de:

y - y 0 = Δ y Δ x x - x 0

d x - d 0 = d L - d 0 L - 0 x - 0

d x - d 1 = d 2 - d 1 L x

d x = d 2 - d 1 L x + d 1

E assim chegamos a seguinte relação para a área:

A x = π d 2 - d 1 L x + d 1 2 4

A x = π d 2 - d 1 x + d 1 L 2 4 L 2

Passo 3

Agora que determinamos a relação da área, basta substituirmos ela na nossa integral do Passo 1 e calcularmos ela.

Sendo assim, vamos aos cálculos:

δ = ∫ 0 L P x E A x d x = ∫ 0 L P E π d 2 - d 1 x + d 1 L 2 4 L 2 d x

δ = 4 P L 2 π E ∫ 0 L 1 d 2 - d 1 x + d 1 L 2 d x

δ = 4 P L 2 π E - 1 d 2 - d 1 x + d 1 L d 2 - d 1 0 L

δ = 4 P L 2 π E - 1 d 2 L d 2 - d 1 + 1 d 1 L d 2 - d 1

δ = 4 P L 2 π E d 2 - d 1 d 1 d 2 L d 2 - d 1

Agora só nos resta substituirmos os valores:

δ = 4 ⋅ 5000 ⋅ 3 2 π ⋅ 21000 50 - 25 50 ⋅ 25 ⋅ 3 50 - 25

δ = 0,000728   m = 0,728   m m

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,728   m m

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