Enunciado

Uma barra de aço com 3 m de comprimento tem seção transversal circular com d 1 = 20   m m , em metade do seu comprimento, e d 2 = 15   m m na outra metade. (a) Quanto se alongará sob uma carga de tração P = 2500   k g f ? (b) Se o mesmo volume de material for usado numa barra de 3   m de comprimento e diâmetro d constante, qual será a deformação desta barra sujeita à mesma carga anterior? (Fazer E = 21000   k g f / m m 2 )

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Vamos com calma nesta questão. Temos duas letras para resolver com geometrias distintas. Portanto, vamos começar pela letra a). Somente depois vamos para a letra b).

Na letra a) temos uma barra com duas seções transversais distintas e com a mesma força P atuando sobre a barra.

Nesta letra, o objetivo é determinar quanto a barra irá se alongar sob uma carga de tração P = 2500   k g f . Então, para calcularmos a deformação da barra, temos que utilizar a relação:

δ = ∑ i = 1 n P i L i E i A i

Que é exatamente a soma das deformações de cada seção da barra!

Sendo assim, vamos aos cálculos!

Passo 2

Precisamos utilizar a relação δ = ∑ i = 1 n P i L i E i A i para resolvermos a questão. Então, vamos começar determinando as áreas de cada seção circular. Portanto,

A 1 = π d 1 2 4 = π ⋅ 20 2 4 = 100 π   m m 2

A 2 = π d 2 2 4 = π ⋅ 15 2 4 = 56,25 π   m m 2

Como o módulo de elasticidade é o mesmo, E 1 = E 2 = E = 21000   k g f / m m 2 e o comprimento também, L 1 = L 2 = L = 1,5   m , temos o seguinte valor da deformação total

δ a = ∑ i = 1 n P i L i E i A i

δ a = P L E A 1 + P L E A 2

δ a = P L E 1 A 1 + 1 A 2

δ a = 2500 ⋅ 1,5 21000 1 100 π + 1 56,25 π

δ a = 1,579 ⋅ 10 - 3   m

E assim finalizamos a letra a).

Passo 3

Para a letra b), nós temos que aplicar a mesma carga P = 2500   k g f só que para uma barra de diâmetro uniforme d e mesmo volume que a barra anterior.

Portanto, nosso primeiro trabalho é determinar a área da base da letra b). Lembrando que a barra da letra b possui comprimento 2 L = 3   m , ao igualarmos o volume de ambas as barras, temos:

V a = V b

A 1 L + A 2 L = A b 2 L

A 1 + A 2 L = 2 A b L

100 π + 56,25 π = 2 A b

A b = 156,25 π 2   m m 2

Calculando a deformação da barra de única seção transversal A b , temos:

δ b = P ⋅ 2 L E A b

δ b = 2500 ⋅ 3 21000 ⋅ 156,25 π 2 = 1,455 ⋅ 10 - 3   m

E assim finalizamos a questão

Resposta

  1. δ a = 1,579 ⋅ 10 - 3   m

δ b = 1,455 ⋅ 10 - 3   m

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