Enunciado

Uma barra de seção transversal retangular, variável, com espessura, e, constante, suporta uma força P , como se vê na figura. A largura da barra varia linearmente de b 1 , no suporte, até b 2 na extremidade livre. Estabelecer a fórmula para o cálculo do alongamento, δ , da barra devido a ação de P .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Este é um tipo de questão que costuma assustar bastante! Por estarmos trabalhando com uma barra de seção transversal variável, não podemos utilizar as relações para o alongamento δ já deduzidas do livro.

Infelizmente nós temos que deduzir ela, o que é exatamente o que a questão pede.

Para isto, teremos que relembrar a forma integral da definição de alongamento, dada por:

δ = ∫ 0 L d δ = ∫ 0 L P x E A x d x

Para a nossa alegria, a força axial P x é uma constante e igual a P . Nosso trabalho aqui será obter uma equação para a seção transversal variante.

OBS: a direção x é a direção do comprimento L da barra!!!

Passo 2

Vamos agora determinar a relação para a área da barra.

Como a barra tem seção retangular de espessura e constante, a sua área será:

A x = b x ⋅ e

Sendo o b x uma função que varia linearmente de b 1 até b 2 . Portanto, como tem um comportamento linear, podemos escrevê-lo através de:

y - y 0 = Δ y Δ x x - x 0

b x - b 0 = b L - b 0 L - 0 x - 0

b x - b 1 = b 2 - b 1 L x

b x = b 2 - b 1 L x + b 1

E assim chegamos a seguinte relação para a área:

A x = b 2 - b 1 L x + b 1 e

Passo 3

Agora que determinamos a relação da área, basta substituirmos ela na nossa integral do Passo 1 e calcularmos ela.

Sendo assim, vamos aos cálculos:

δ = ∫ 0 L P x E A x d x = ∫ 0 L P E b 2 - b 1 L x + b 1 e d x

δ = P L E e ∫ 0 L 1 b 2 - b 1 x + b 1 L d x

δ = P L E e ln ⁡ b 2 - b 1 x + b 1 L b 2 - b 1 0 L

δ = P L E e b 2 - b 1 ln ⁡ b 2 L - ln ⁡ b 1 L

δ = P L E e b 2 - b 1 ln ⁡ b 2 b 1

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = P L E e b 2 - b 1 ln ⁡ b 2 b 1

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