Enunciado

Uma barra bimetálica, formada por três lâminas, uma central de cobre e duas externas de aço (ver a figura), é aquecida uniformemente até T ° C . Supondo que a largura das barras seja b , o comprimento L e a espessura de cada lâmina e , calcular as tensões no aço e no cobre. Traçar um diagrama de corpo livre para as três lâminas. (Nota: Os coeficientes de dilatação térmica são α a e α c α c > α a para o aço e o cobre, respectivamente. Módulos de elasticidade E a e E c )

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Aqui temos uma barra bimetálica de três lâminas (cobre no meio e aço nas extremidades) que é submetida a um aumento de temperatura. Como o coeficiente de dilatação térmica do cobre é maior que o do aço, então, o cobre tende a deformar mais.

Entretanto, isto não ocorre. Como todos os três materiais estão unidos (imagina soldado), então, a deformação dos três deve ser igual!

E para que isto ocorra, devemos ter uma força F a tracionando a barra de aço ( 2 F a no total) e uma força F c comprimindo o cobre.

Para correlacionarmos as duas forças, basta fazermos o somatório de forças. Portanto,

∑ F = 0

2 F a - F c = 0

F c = 2 F a

Agora que a gente já entendeu todo o problema, vamos para as contas!

Passo 2

Como dito no Passo 1, a barra de aço deve ter a mesma deformação que a barra de cobre. Portanto,

δ a = δ c

Só que estas dilatações não são apenas pelo efeito da temperatura, mas também pela ação das forças! Portanto, substituindo as respectivas relações, temos:

δ T , a + δ F , a = δ T , c - δ F , c

L α a T + F a L E a A = L α c T - F c L E c A

α a T + F a E a b e = α c T - 2 F a E c b e

F a E a b e + 2 F a E c b e = α c T - α a T

F a E c + 2 E a b e E a E c = α c - α a T

F a b e = α c - α a T E a E c E c + 2 E a

E como a tensão no aço é σ a = F a A = F a b e , então,

σ a = α c - α a T E a E c E c + 2 E a

Já a tensão no cobre será σ c = - F c A = - 2 F a A = - 2 σ a . E assim finalizamos a questão!

Resposta

σ a = α c - α a T E a E c E c + 2 E a

σ c = - 2 σ a

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