Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 1.6 - Ex. 3
Uma barra de comprimento está suspensa horizontalmente por dois fios verticais, presos às suas extremidades (ver a figura). Os fios têm o mesmo comprimento e a mesma área das seções transversais, porém o fio da extremidade é de um material cujo módulo de elasticidade é , enquanto que o da extremidade tem . Desprezando o peso da barra , estabelecer a fórmula da distância (partindo de ) ao ponto de aplicação de uma carga , de modo que a barra continue horizontal.
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
O objetivo desta questão é obter a equação para a distância tal que a barra permaneça horizontal.
Só que nós não conhecemos nada ainda da estrutura. Isto é, não sabemos quem são as forças em cada fio e muito menos a distância (três incógnitas).
Para este tipo de questão, precisamos trabalhar tanto com as equações de equilíbrio da estática quanto as de deformação. Portanto, vamos começar pela mais fácil, a mais intuitiva.
Em outras palavras, vamos começar pela deformação! Se a barra é mantida na posição horizontal, então a deformação de ambos os fios é igual! Desenvolvendo esta relação, temos:
Como eles tem mesmo comprimento e área, temos:
Passo 2
Agora que já trabalhamos com a deformação, precisamos trabalhar com a equação de equilíbrio da estática. Ao fazermos isto, obteremos uma segunda equação que possibilitará com que resolvamos o nosso impasse (quem é a distância ).
Antes de aplicarmos as relações, temos que substituir os vínculos (fios) por reações. Ao fazermos isto, teremos o seguinte diagrama de corpo livre:
Agora, basta aplicarmos as equações de equilíbrio. Portanto:
Passo 3
Para finalizarmos a questão, basta juntarmos as duas equações obtidas no Passo 2 com a equação obtida no Passo 1.
Ao fazermos isto, chegamos a um sistema de 3 equações, conforme pode ser visto abaixo:
Como nosso objetivo é apenas a distância , basta substituirmos a primeira equação na terceira. Ao fazermos isto, temos:
E assim finalizamos a questão!