Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 1.7 - Ex. 10
A barra representada na figura tem comprimento , módulo de elasticidade e área da seção transversal . Dois cabos com tensores são ligados a pinos reforçados nas extremidades da barra. Cada cabo tem comprimento , módulo de elasticidade e área de seção transversal . O passo da rosca dos tensores de dupla ação é . Estabelecer uma fórmula para calcular o número de voltas , que cada tensor deve dar para gerar na barra uma tensão uniforme .
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Nesta questão precisamos determinar uma fórmula que relacione o número de voltas do tensor com a tensão da barra.
Vamos começar entendendo as forças que acontecem no problema. Como cada cabo é tracionado, por uma força , a barra deverá estar sujeita a uma força de compressão tal que:
Isto é necessário para que a barra esteja em equilíbrio .
E assim obtemos a primeira equação fundamental para que resolvamos a questão!
Passo 2
Agora temos que entender o que ocorre com as barras ao serem deformadas.
Devido a conexão dos cabos com a barra, a deformação das duas estruturas deve ser igual! Portanto,
Mas o que causa cada deformação?
Bom, para a barra, fica mais fácil. Aqui apenas a força (de compressão), é a responsável pela deformação da mesma. Logo,
OBS: já aproveitamos para substituir pela tensão na barra .
Mas quem é a deformação no cabo? Será apenas a deformação da força ??? Isto não faria muito sentido, já que o cabo está sendo tracionado (e no final deve ser comprimido, visto que ).
E de fato não temos apenas a deformação da força. Também teremos a ação do tensor na redução do comprimento do cabo. A cada volta do tensor, o cabo diminui de (duas vezes pois diminui dos dois lados do cabo). Portanto, a deformação no cabo será:
Passo 3
Agora que descobrimos as relações para e , só nos resta desenvolvermos a relação entre elas para finalizarmos a questão. Desta forma, temos:
Mas como (visto lá no Passo 1), temos:
E assim finalizamos a questão!