Calcular a deflexão δ , na extremidade livre de uma viga em balanço, sabendo que nesse ponto atua uma carga concentrada P e que E I é constante. Usar três intervalos iguais.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão na extremidade livre de uma viga em balanço submetida a uma carga pontual P . Além disto, devemos dividir a viga em 3 intervalos iguais (comprimento L / 3 ). Assim, teremos 4 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Para uma viga em balanço submetida a uma carga concentrada P na extremidade livre, a equação do momento fletor será:

M = P x - L

Já a rigidez da viga E I é constante para todos os pontos.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 0, 1 e 2, o nosso sistema de equação será:

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - h 2 M 0 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - L 3 2 - P L E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 3 2 - 2 P L 3 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 3 2 - P L 3 E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = P L 3 9 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = 2 P L 3 27 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = P L 3 27 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 2.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 .

Além disto, temos uma deflexão imaginária v 1 . Analisando pela inclinação da viga, temos v 1 = v - 1 .

Com isto, nosso sistema será:

v 1 = P L 3 18 E I v 2 - 2 v 1 = 2 P L 3 27 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = P L 3 27 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 3 = 19 P L 3 54 E I

δ = v 3 = 0,352 P L 3 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,352 P L 3 E I

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