Para a viga da Fig. 6-16, calcular a deflexão , na extremidade livre. Usar três intervalos ao longo da viga. A seção transversal é retangular, com largura constante e altura variando de na extremidade , até , na extremidade , sendo .
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.
Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão na extremidade livre da viga da Fig. 6-16. Esta é uma viga engastada submetida a uma carga pontual no meio dela, e com um momento de inércia que varia de acordo com a posição . Devemos tomar cuidado aqui nesta parte do momento de inércia!
Além disto, devemos dividir a viga em 3 intervalos iguais (comprimento ). Assim, teremos 4 pontos.
Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:
Sendo esse o comprimento dos intervalos.
Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!
Passo 2
Vamos começar a nossa questão determinando a função do momento de inércia.
De início sabemos que a seção transversal é retangular com largura constante. Portanto, podemos afirmar que:
O problema está exatamente nesta função , a qual governa a altura da seção transversal. Para isto, vamos assumir que ela varia linearmente. Portanto, teremos:
E com isto, o momento de inércia será dado pela seguinte função:
Passo 3
Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.
Para uma viga em balanço submetida a uma carga concentrada na extremidade livre, a equação do momento fletor será:
Já a rigidez da viga vai variar para cada ponto de acordo com a equação calculada no Passo 2.
Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 0, 1 e 2, o nosso sistema de equação será:
Se chamarmos (momento de inércia da seção em que , teremos:
E assim terminamos de montar o nosso sistema!
Passo 4
Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 3.
E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que .
Além disto, temos uma deflexão imaginária . Analisando pela inclinação da viga, temos .
Com isto, nosso sistema será:
Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:
E assim finalizamos a questão!