Para a viga da Fig. 6-16, calcular a deflexão δ b , na extremidade livre. Usar três intervalos ao longo da viga. A seção transversal é retangular, com largura b constante e altura variando de h a na extremidade A , até h b , na extremidade B , sendo h a = 2 h b .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão na extremidade livre da viga da Fig. 6-16. Esta é uma viga engastada submetida a uma carga pontual P no meio dela, e com um momento de inércia que varia de acordo com a posição x . Devemos tomar cuidado aqui nesta parte do momento de inércia!

Além disto, devemos dividir a viga em 3 intervalos iguais (comprimento L / 3 ). Assim, teremos 4 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Vamos começar a nossa questão determinando a função do momento de inércia.

De início sabemos que a seção transversal é retangular com largura b constante. Portanto, podemos afirmar que:

I x = b h x 3 12

O problema está exatamente nesta função h x , a qual governa a altura da seção transversal. Para isto, vamos assumir que ela varia linearmente. Portanto, teremos:

y - y 0 = Δ y Δ x x - x 0

h x - h a = h b - h a L - 0 x - 0

h x = - h a 2 L x + h a

E com isto, o momento de inércia será dado pela seguinte função:

I x = b - h a 2 L x + h a 3 12

Passo 3

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Para uma viga em balanço submetida a uma carga concentrada P na extremidade livre, a equação do momento fletor será:

M = P x - L

Já a rigidez da viga E I vai variar para cada ponto de acordo com a equação calculada no Passo 2.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 0, 1 e 2, o nosso sistema de equação será:

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - h 2 M 0 E I 0 v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I 1 v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I 2

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - L 3 2 - P L E b h a 3 12 v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 3 2 - 2 P L 3 E 125 216 ⋅ b h a 3 12 v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 3 2 - P L 3 E 8 27 ⋅ b h a 3 12

Se chamarmos I a = b h a 3 12 (momento de inércia da seção em que x = a , teremos:

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = P L 3 9 E I a v 2 - 2 v 1 + v 0 = 16 P L 3 125 E I a v 3 - 2 v 2 + v 1 = P L 3 8 E I a

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 4

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 3.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 .

Além disto, temos uma deflexão imaginária v 1 . Analisando pela inclinação da viga, temos v 1 = v - 1 .

Com isto, nosso sistema será:

v 1 = P L 3 18 E I a v 2 - 2 v 1 = 16 P L 3 1 2 5 E I a v 3 - 2 v 2 + v 1 = P L 3 E I a

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 3 = 1 643 P L 3 3000 E I a

δ b = v 3 = 0 , 548 P L 3 E I a

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ b = 0,548 P L 3 E I a

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