Determinar a deflexão δ , no ponto médio de uma viga simplesmente apoiada, com uma carga concentrada P no meio do vão. Dividir a viga em quatro partes iguais e supor E I constante.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão no meio de uma viga simplesmente apoiada submetida a uma carga P no meio do vão. Além disto, devemos dividir a viga em 4 intervalos iguais (comprimento L / 4 ). Assim, teremos 5 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor.

Para uma viga simplesmente apoiada e submetida a uma carga concentrada P no meio, a equação do momento fletor será:

M = P x 2

Já a rigidez da viga E I é constante para todos os pontos.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 1 e 2, o nosso sistema de equação será:

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 4 2 P L 4 2 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 4 2 P L 2 2 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - P L 3 128 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - P L 3 64 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, mas por que não montamos o sistema para o ponto 3?

Simples, pela simetria do problema! Com isto, nós conseguimos afirmar que v 3 = v 1 !

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 . Com isto, nosso sistema será:

v 2 - 2 v 1 = - P L 3 128 E I v 1 - v 2 = - P L 3 128 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 2 = 3 P L 3 128 E I

δ = v 2 = 0,02344 P L 3 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,02344 P L 3 E I

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