Calcular a deflexão δ , na extremidade livre de uma viga em balanço, que suporta uma carga uniformemente distribuída, taxa de carregamento igual a q . Supor E I constante e dividir a viga em quatro partes iguais.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão na extremidade livre de uma viga em balanço submetida a um carregamento constante q . Além disto, devemos dividir a viga em 4 intervalos iguais (comprimento L / 4 ). Assim, teremos 5 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Para uma viga em balanço submetida a um carregamento constante q , a equação do momento fletor será:

M = - q L - x 2 2

Já a rigidez da viga E I é constante para todos os pontos.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 0, 1, 2 e 3, o nosso sistema de equação será:

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - h 2 M 0 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - h 2 M 3 E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = - L 4 2 - q L 2 2 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 4 2 - q 3 L 4 2 2 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 4 2 - q 2 L 4 2 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - L 4 2 - q L 4 2 2 E I

v 1 - 2 v 0 + v - 1 = q L 4 32 E I v 2 - 2 v 1 + v 0 = 9 q L 4 512 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = q L 4 64 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = q L 4 512 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 2.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = 0 .

Além disto, temos uma deflexão imaginária v 1 . Analisando pela inclinação da viga, temos v 1 = v - 1 .

Com isto, nosso sistema será:

v 1 = q L 4 64 E I v 2 - 2 v 1 = 9 q L 4 512 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = q L 4 64 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = q L 4 512 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 4 = 77 q L 4 512 E I

δ = v 4 = 0 , 148 P L 3 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,148 P L 3 E I

Ver Outros Exercícios desse livro