Calcular a deflexão no ponto de aplicação de uma carga concentrada P , em uma viga simplesmente apoiada, sabendo que a carga atua a uma distância L / 4 da extremidade esquerda. Dividir a viga em quatro partes iguais e supor E I constante.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Conforme pedido pelo livro, precisamos resolver esta questão pelo método de diferenças finitas.

Nesta questão nós precisamos determinar a deflexão exatamente embaixo da força pontual P , que atua em uma viga simplesmente apoiada submetida a uma distância L / 4 da extremidade esquerda. Além disto, devemos dividir a viga em 4 intervalos iguais (comprimento L / 4 ). Assim, teremos 5 pontos.

Por definição, a equação da linha elástica, pelo método de diferenças finitas, será:

v i + 1 - 2 v i + v i - 1 h 2 = - M i E I i

Sendo esse h o comprimento dos intervalos.

Agora que a gente já tem a base da nossa questão, vamos montar o nosso sistema de equação!

Passo 2

Para que a gente consiga desenvolver a nossa equação, precisamos determinar quem é o momento fletor de cada ponto.

Para uma viga simplesmente apoiada e submetida a uma carga concentrada P na extremidade esquerda, teremos duas equações para o momento fletor (para antes e depois da carga P ). Elas serão:

M = # 3 P x 4 ,     0 ≤ x ≤ L 4 M = # - P x 4 + P L 4 ,     L 4 ≤ x ≤ L

Devemos tomar cuidado então na hora de escolher a fórmula pra o momento fletor.

Sendo assim, substituindo estas relações para os pontos 1, 2 e 3, o nosso sistema de equação será:

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - h 2 M 1 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - h 2 M 2 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - h 2 M 3 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - L 4 2 3 P L 4 4 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - L 4 2 - P L 2 4 + P L 4 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - L 4 2 - P 3 L 4 4 + P L 4 E I

v 2 - 2 v 1 + v 0 = - 3 P L 3 25 6 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - P L 3 128 E I v 4 - 2 v 3 + v 2 = - P L 3 2 56 E I

E assim terminamos de montar o nosso sistema!

Passo 3

Bom, agora só nos resta resolvermos o sistema obtido no Passo 2.

E para que a gente consiga resolver o nosso sistema, precisamos de condição de contorno. Esta condição é que v 0 = v 4 = 0 . Com isto, nosso sistema será:

v 2 - 2 v 1 = - 3 P L 3 256 E I v 3 - 2 v 2 + v 1 = - P L 3 128 E I - 2 v 3 + v 2 = - P L 3 256 E I

Agora sim! Resolvendo este sistema, obtemos:

v 1 = 7 P L 3 512 E I

δ = v 1 = 0,0 137 P L 3 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = 0,0137 P L 3 E I

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