Duas vigas biapoiadas, de seção transversal retangular, são construídas do mesmo material, têm o mesmo comprimento e são carregadas de modo idêntico. As larguras das vigas são iguais, porém a altura da primeira é o dobro da altura da segunda. Achar a relação U 1 / U 2 entre as energias de deformação das duas vigas.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Temos aqui duas vigas que diferem apenas em relação altura, sendo a altura da primeira o dobro da altura da segunda. Bom, apenas com essa informação, devemos calcular a relação U 1 / U 2 .

Bom, para a gente começar a resolver esta questão, vamos começar supondo o tipo de carregamento. Vamos assumir aqui uma viga biapoiada submetida a uma flexão pura (mesmo carregamento da seção 6.7).

Fazemos isto pois temos a energia de deformação mais fácil de expressar! Ela é:

U = M 2 L 2 E I

Então, como apenas a altura da seção transversal difere, ao dividirmos a energia da viga 1 e da viga 2, obtemos:

U 1 U 2 = M 2 L 2 E I 1 M 2 L 2 E I 2

U 1 U 2 = I 2 I 1

Então, a chave está na relação dos momentos de inércia!

Passo 2

Para que a gente consiga finalizar a questão, precisamos desenvolver a relação para o momento de inércia.

Novamente, vamos simplificar o nosso problema e assumir que a viga tem seção retangular. Com isto, o momento de inércia é dado pela expressão I = b h 3 / 12 .

Substituindo essa relação para a relação do Passo 1, temos:

U 1 U 2 = b h 3 12 2 b h 3 12 1

U 1 U 2 = b h 2 3 12 b h 1 3 12

U 1 U 2 = h 2 3 h 1 3

Mas como a altura da viga 1 é o dobro da altura da viga 2, temos:

U 1 U 2 = h 2 3 2 h 2 3 = h 2 3 8 h 2 3

U 1 U 2 = 1 8

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U 1 U 2 = 1 8

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