Calcular o deslocamento angular θ b e a deflexão na extremidade livre da viga do Probl. 6.3-4.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o deslocamento angular e a deflexão da extremidade livre de uma viga em balanço sujeito a um carregamento distribuído q x dado por:

q x = - q 0 L x + q 0

Para isto, a questão impõe que a gente utilize o método dos momentos estáticos das áreas. Este método nos diz que o deslocamento e a deflexão são dados por:

Δ = ∫ A B x 1 M d x E I θ = ∫ A B M d x E I

Sendo Δ a deflexão total [é igual a δ em módulo, a diferir pelo sinal, que indica se é para baixo (negativo) ou para cima (positivo)] e θ o deslocamento angular [mesma coisa com o sinal]. Por fim, temos a distância x 1 , que é a distância do elemento até o ponto B (extremidade direita). Portanto, neste caso, x 1 = L - x .

Outra informação necessária é o momento fletor para o caso da nossa viga. Aqui, para 0 ≤ x ≤ L , temos:

M x = q 0 6 L x 3 - q 0 2 x 2 + q 0 L x 2 - q 0 L 2 6

Agora nós temos todas as informações necessárias. Só nos resta fazermos o cálculo!

Passo 2

Vamos fazer as duas integrais. Começando pela deflexão, temos:

Δ = ∫ 0 L q 0 6 L x 3 - q 0 2 x 2 + q 0 L x 2 - q 0 L 2 6 L - x E I d x

Δ = ∫ 0 L q 0 x 3 6 - q 0 L x 2 2 + q 0 L 2 x 2 - q 0 L 3 6 - q 0 x 4 6 L + q 0 x 3 2 - q 0 L x 2 2 + q 0 L 2 x 6 E I d x

Δ = q 0 E I ∫ 0 L 2 x 3 3 - L x 2 + 2 L 2 x 3 - L 3 6 - x 4 6 L d x

Δ = q 0 E I x 4 6 - L x 3 3 + L 2 x 2 3 - L 3 x 6 - x 5 30 L 0 L = - q L 4 30 E I

Portanto, a deflexão é δ = q L 4 30 E I e é para baixo. Já o deslocamento angular será:

θ = ∫ 0 L q 0 x 3 6 L - x 2 2 + L x 2 - L 2 6 E I d x

θ = q E I x 4 24 L - x 3 6 + L x 2 4 - L 2 x 6 0 L = - q L 3 24 E I

Então, θ b = q L 3 24 E I no sentido horário.

E assim finalizamos a questão!

Resposta

δ = q L 4 30 E I

θ b = q L 3 24 E I

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