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Enunciado

Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 1.10 - Ex. 4

Calcular a energia de deformação na barra do problema anterior, se, em adição do próprio peso receber uma carga, P, na extremidade inferior.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Esta questão é uma continuação da questão 1.10-3. Lá nós tínhamos uma barra prismática, de comprimento L e seção transversal A pendurada na vertical sob ação do seu próprio peso.

Para calcularmos a energia de deformação, utilizamos a seguinte relação:

U = ∫ 0 L P x 2 2 E A d x

Sendo o carregamento devido ao peso P x = γ A x .

E qual a diferença para esta questão? Bom, é exatamente o carregamento! Além de termos a influência do peso, teremos uma carga P constante em todas as seções transversais!

Desta forma, devemos reescrever o nosso carregamento para P x = γ A x + P .

Agora, o restante será o mesmo. Então, vamos aos cálculos!

Passo 2

Agora que entendemos como conseguimos determinar a energia de deformação, só nos resta calcularmos a integral. Portanto,

U = ∫ 0 L P x 2 2 E A d x

U = ∫ 0 L γ A x + P 2 2 E A d x

U = ∫ 0 L γ 2 A 2 x 2 + 2 γ A x P + P 2 2 E A d x

U = ∫ 0 L γ 2 A x 2 2 E d x + ∫ 0 L γ P x E d x + ∫ 0 L P 2 2 E A d x

U = γ 2 A 2 E x 3 3 0 L + γ P E x 2 2 0 L + P 2 2 E A x 0 L

U = γ 2 A L 3 6 E + γ P L 2 2 E + P 2 L 2 E A

U = L 6 E A γ 2 A 2 L 2 + 3 γ P L A + 3 P 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U = L 6 E A γ 2 A 2 L 2 + 3 γ P L A + 3 P 2

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