Calcular a energia de deformação de uma viga simplesmente apoiada, com uma carga concentrada P no eixo do vão, L . Do resultado, achar a deflexão, δ , no meio.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a energia de deformação de uma viga simplesmente apoiada, com uma carga concentrada P no meio do vão.

Depois disto, precisamos determinar a deflexão δ no meio da viga.

Bom, sabemos que o momento fletor irá variar de acordo com a seção analisada na viga. Além disto, sabemos que ele é dado por:

M = P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 2 M = P L - x 2 ,     L 2 ≤ x ≤ L

Então, como o momento fletor varia, a energia de deformação deverá ser calculada através da seguinte integral:

U = ∫ M 2 2 E I d x

Substituindo as relações e limites de integração adequados, temos:

U = ∫ 0 L / 2 P 2 x 2 8 E I d x + ∫ L / 2 L P 2 L - x 2 8 E I d x

Agora, só nos resta irmos as contas!

Passo 2

Para que a gente determine a energia de deformação, basta calcularmos a integral desenvolvida no Passo 1. Portanto,

U = ∫ 0 L / 2 P 2 x 2 8 E I d x + ∫ L / 2 L P 2 L - x 2 8 E I d x

U = P 2 8 E I x 3 3 0 L / 2 + P 2 8 E I   - L - x 3 3 L / 2 L

U = P 2 L 3 192 E I + P 2 L 3 192 E I

U = P 2 L 3 96 E I

E assim terminamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Já para encontrarmos a deflexão no meio da viga, logo embaixo da força P , basta igualarmos a energia de deformação com o trabalho da força P , que é igual a P δ / 2 .

Portanto,

P 2 L 3 96 E I = P δ 2

δ = P L 3 48 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U = P 2 L 3 96 E I

δ = P L 3 48 E I

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