Resolvendo as equações diferencias da linha elástica, achar as equações para a deflexão v da metade esquerda da viga representada na Fig. 6-15a

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica para uma viga que foi explicada durante a seção 6.6.

Para a nossa alegria, nós já temos as equações da linha elástica que precisamos integrar e também as condições de contorno! Relembrando, as equações são:

E I v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E 2 I v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Já as quatro condições de contorno são: quando x = 0 , v = 0 ; quando x = L / 2 , v ' = 0 ; quando x = L / 4 , a inclinação e a deflexão calculada por ambas as equações são idênticas.

Agora que já sabemos tudo, vamos as contas!

Passo 2

Vamos começar integrando as nossas equações diferenciais. Portanto,

E I v ' ' = - P x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E 2 I v ' ' = - P x 2 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I v ' = - P x 2 4 + C 1 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E 2 I v ' = - P x 2 4 + C 3 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E I v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 E 2 I v = - P x 3 12 + C 3 x + C 4 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

Passo 3

Agora nós temos que aplicar as condições de contorno. Começando por v = 0 quando x = 0 , temos:

E I v = - P x 3 12 + C 1 x + C 2

0 = C 2

E assim descobrimos a nossa primeira constante! Já para v ' = 0 quando x = L / 2 , temos:

E 2 I v ' = - P x 2 4 + C 3

0 = - P L 2 16 + C 3

C 3 = P L 2 16

Agora precisamos aplicar as duas condições de contorno que nos restam. Portanto, igualando a inclinação e deflexão das duas partes quando x = L / 4 , teremos:

1 E I - P L 4 2 4 + C 1 = 1 2 E I - P L 4 2 4 + P L 2 16 1 E I - P L 4 3 12 + C 1 x = 1 2 E I - P L 4 3 12 + P L 2 16 x + C 4

- P L 2 64 + C 1 = - P L 2 128 + P L 2 32 - P L 3 768 + C 1 L 4 = - P L 3 1536 + P L 2 128 + C 4 2

Da primeira equação nós obtemos que C 1 = 5 P L 2 128 . Já da segunda equação nós obtemos que C 4 = P L 3 384 .

Sendo assim, a equação da linha elástica da metade esquerda da viga é:

v = P x 384 E I 15 L 2 - 32 x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 v = P 768 E I 2 L 3 + 24 L 2 x - 32 x 3 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v = P x 384 E I 15 L 2 - 32 x 2 ,     0 ≤ x ≤ L 4 v = P 768 E I 2 L 3 + 24 L 2 x - 32 x 3 ,     L 4 ≤ x ≤ L 2

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