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Enunciado

Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 3.3 - Ex. 4

Duas barras circulares, do mesmo comprimento têm áreas de seção transversal diferentes, A 1 e A 2 . Qual é a razão das quantidades de energia de deformação armazenadas nas duas barras, se ambas estão sujeitas ao mesmo torque T ?

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a razão da energia de deformação de duas barras que possuem área transversal diferentes.

Bom, como queremos a energia de deformação, se as barras estão sujeitas a um torque T , elas terão energias:

U 1 = T 2 L 2 G J 1 U 2 = T 2 L 2 G J 2

Como podemos ver nas relações acima, a única diferença está no momento de inércia, e é exatamente na correlação do momento de inércia com as áreas A 1 e A 2 que devemos trabalhar.

Passo 2

Vamos agora obter essa relação entre momento de inércia e área. Como a barra é maciça, o momento de inércia será:

J = π d 4 32

Ou, reescrevendo, temos:

J = π 2 d 4 16 ⋅ 1 2 π = π d 2 4 2 ⋅ 1 2 π = A 2 2 π

Portanto, conseguimos relacionar o momento de inércia com as áreas da seção transversal! Sendo assim, para as barras um e dois, temos:

J 1 = A 1 2 2 π

J 2 = A 2 2 2 π

Passo 3

Para finalizarmos a questão só nos resta fazermos a razão entre as energias. Portanto,

U 1 U 2 = T 2 L 2 G J 1 T 2 L 2 G J 2 = J 2 J 1

U 1 U 2 = A 2 2 2 π A 1 2 2 π = A 2 2 A 1 2

E assim a gente finaliza a questão!

Resposta

U 1 U 2 = A 2 2 A 1 2

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