Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 2.6 - Ex. 8
Mostrar, a partir da geometria da Fig. 2.11, que as coordenadas do ponto são dadas pelas Eqs. (2-24).
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Esta questão vai ser um pouco complicado, pois precisaremos desenvolver uma relação de rotação lá da geometria analítica.
Então, vamos bem devagar! Lá da Fig. 2.11 nós temos que a coordenada do nosso ponto inicial é . Bom, mas podemos escrever esta coordenada de uma forma diferente! Vejamos só:
E é o vetor que vai ditar o nosso estado de tensão. Ele indica o raio do círculo e é ele quem devemos rotacionar.
Já o vetor indicará as coordenadas do centro do círculo. Este é um valor fixo.
Então, o nosso estado final será obtido da soma de com uma rotação de no valor de no sentido anti-horário!
Passo 2
Já foi bastante de geometria analítica até agora, não foi? Mas calma que a gente não acabou a questão!
Vamos rotacionar o vetor . Relembrando, a rotação de um vetor qualquer de um ângulo no sentido anti-horário será:
Então, se rotacionarmos em , teremos:
Agora sim! Para a gente finalizar a questão, basta somarmos com . Logo,
Eassim chegamos as Eqs. 2-24! Logo, finalizamos a questão!