Enunciado

Resolver o problema anterior se ϵ_x = 500 * 10^(- 6) , ϵ_y = 300 * 10^(- 6) e gamma_y x = 1050 * 10^(- 6) .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Bom pessoal, esta é uma questão bem direta. Temos um estado plano de deformação e nós precisamos determinar as deformações principais e suas direções, seja através das equações como também através do círculo de Mohr.

A vantagem de ter esse trabalho dobrado é que a gente vai ter certeza do que estamos fazendo!

Então, vamos obter as deformações através das equações primeiramente. Relembrando, essas equações são:

ϵ_1,2 = (ϵ_x + ϵ_y)/(2) +- sqrt(((ϵ_x - ϵ_y)/(2))^2 + ((gamma_y x)/(2))^2)

Idêntica a equação para as tensões, não é? Então, substituindo os valores, teremos:

ϵ_1,2 = (500 * 10^(- 6) + 300 * 10^(- 6))/(2) +- sqrt(((500 * 10^(- 6) - 300 * 10^(- 6))/(2))^2 + ((1050 * 10^(- 6))/(2))^2)

ϵ_1,2 = 400 * 10^(- 6) +- 534 * 10^(- 6)

E com isto chegamos as deformações principais ϵ_1 = 934 * 10^(- 6) e ϵ_2 = - 134 * 10^(- 6) .

Passo 2

Para finalizarmos a primeira parte da questão (resolver através das equações), precisamos encontrar as direções de máxima deformação.

Sendo assim, temos:

tan 2 theta_p = (gamma_y x)/(ϵ_x - ϵ_y) ⟹ theta_p = (1)/(2) arctan ((gamma_y x)/(ϵ_x - ϵ_y))

theta_p = (1)/(2) arctan ((1050 * 10^(- 6))/(500 * 10^(- 6) - 300 * 10^(- 6)))

theta_p = 39,6 °

Só que não esqueçam que são duas possíveis rotações, sendo ambos defasados de 90°! Então, temos theta_p , 1 = 39,6 ° e theta_p , 2 = 129,6 °

E assim a gente determinou todas as informações que a questão pediu, só que através das equações.

Passo 3

Agora nós precisamos determinar as mesmas informações que vimos nos Passos 1 e 2, só que através do círculo de Mohr para deformação.

Sendo assim, vamos começar determinando a equação deste círculo. Ela será:

(ϵ_theta - ϵ_m é d)^2 + gamma_(theta)^2 = gamma_(m á x)^2

Sendo ϵ_m é d = (ϵ_x + ϵ_y)/(2) e gamma_m á x = sqrt(((ϵ_x - ϵ_y)/(2))^2 + ((gamma_y x)/(2))^2) . Portanto,

(ϵ_theta - 400 * 10^(- 6))^2 + gamma_(theta)^2 = (534 * 10^(- 6))^2

Esboçando o círculo com o estado inicial (D^' D) juntamente do estado do elemento após rotação (E^' E) temos:

Ao encontrarmos a interseção da reta rotacionada (eixo x) com o círculo teremos as nossas deformações principais. Neste caso, elas serão:

ϵ_1 = 934 * 10^(- 6)

ϵ_2 = - 134 * 10^(- 6)

E as direções são: theta_p , 1 = 39,6 ° e theta_p , 2 = 129,6 ° .

Resposta

As deformações principais são ϵ_1 = 934 * 10^(- 6) e ϵ_2 = - 134 * 10^(- 6) . Já as direções são theta_p , 1 = 39,6 ° e theta_p , 2 = 129,6 ° .

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