Resolver o problema 6.3-6.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a deflexão dos pontos B e C da viga do exercício 6.3-6.

Para isto, a questão impõe que a gente utilize o método dos momentos estáticos das áreas. Este método nos diz que o deslocamento e a deflexão são dados por:

{[[Delta = int_A^B x_1 (M d x)/(E I)],[theta = int_A^B (M d x)/(E I)]])

Sendo Delta a deflexão total [é igual a delta em módulo, a diferir pelo sinal, que indica se é para baixo (negativo) ou para cima (positivo)] e theta o deslocamento angular [mesma coisa com o sinal]. Por fim, temos a distância x_1 , que é a distância do elemento até o ponto B (extremidade direita). Portanto, neste caso, x_1 = L - x .

Para este caso particular, temos duas funções para o momento fletor (metade esquerda e metade direita da viga). Então, vamos ter que analisar com calma o nosso problema.

Passo 2

Vamos começar calculando a deflexão do nosso ponto C . Para isto, vamos integrar a nossa função apenas no intervalo 0 <= x <= L // 2 . Isto é, apenas do engastamento até o próprio ponto C , que está localizado na metade da viga.

Então, neste caso, a distância x_1 será dada por x_1 = (L)/(2) - x . E com isto, temos:

Delta_c = int_0^(L // 2) (((q L)/(2) x - (3 q L^2)/(8)) ((L)/(2) - x))/(E I) d x

Delta_c = int_0^(L // 2) (((q L^2 x)/(4) - (3 q L^3)/(16) - (q L x^2)/(2) + (3 q L^2 x)/(8)))/(E I) d x

Delta_c = (q)/(E I) int_0^(L // 2) ((5 L^2 x)/(8) - (3 L^3)/(16) - (L x^2)/(2)) d x

Delta_c = (q)/(E I) ((5 L^2 x^2)/(16) - (3 L^3 x)/(16) - (L x^3)/(6))_0^(L // 2) = - (7 q L^4)/(192 E I)

Portanto, a deflexão do ponto C é delta_c = (7 q L^4)/(192 E I) e é para baixo. Já

Passo 3

Para sabermos a deflexão do ponto B , que está na extremidade livre da viga, temos que calcular Delta , só que agora precisamos integrar no intervalo 0 <= x <= L . Isto é, toda a viga!

Mas, cuidado agora pessoal. Como o momento fletor possui duas funções neste intervalo, precisamos separar então a nossa integral em duas partes. Isto é:

Delta_b = int_A^C x_1 (M d x)/(E I) + int_C^B x_1 (M d x)/(E I)

Isto é, integramos de 0 <= x <= L // 2 e de (L)/(2) <= x <= L .

A primeira integral é quase (QUASEEE) igual ao do Passo 2. A grande diferença está no x_1 dela. Neste caso, é a distância até o ponto B !!!

Já para esta segunda integral o nosso momento fletor é M (x) = (3 q L x)/(4) - (3 q L^2)/(8) - (q x^2)/(2) e x_1 = L - x (distância da extremidade direita). Portanto,

Delta_b = int_0^(L // 2) (((q L)/(2) x - (3 q L^2)/(8)) (L - x))/(E I) d x + int_(L // 2)^L (((3 q L x)/(4) - (3 q L^2)/(8) - (q x^2)/(2)) (L - x))/(E I) d x

Delta_b = int_0^(L // 2) (((q L^2 x)/(2) - (3 q L^3)/(8) - (q L x^2)/(2) + (3 q L^2 x)/(8)))/(E I) d x + int_(L // 2)^L (((3 q L^2 x)/(4) - (3 q L^3)/(8) - (q L x^2)/(2) - (3 q L x^2)/(4) + (3 q L^2 x)/(8) + (q x^3)/(2)))/(E I) d x

Delta_b = (q)/(E I) int_0^(L // 2) ((7 L^2 x)/(8) - (3 L^3)/(8) - (L x^2)/(2)) d x + (q)/(E I) int_(L // 2)^L ((9 L^2 x)/(8) - (3 L^3)/(8) - (5 L x^2)/(4) + (x^3)/(2)) d x

Delta_b = (q)/(E I) ((7 L^2 x^2)/(16) - (3 L^3 x)/(8) - (L x^3)/(6))_0^(L // 2) + (q)/(E I) ((9 L^2 x^2)/(16) - (3 L^2 x)/(8) - (5 L x^3)/(12) + (x^4)/(8))_(L // 2)^L

Delta_b = - (38 q L^4)/(384 E I) - (5 q L^4)/(384 E I)

Delta_b = - (43 q L^4)/(384 E I)

Portanto, a deflexão do ponto B é delta_b = (43 q L^4)/(384 E I) e é para baixo.

E assim finalizamos a questão!

Resposta

delta_c = (7 q L^4)/(192 E I)

delta_b = (43 q L^4)/(384 E I)

Ver Outros Exercícios desse livro