Para a viga representada na Fig. 6-2, calcular o deslocamento angular θ a e a deflexão δ no meio do vão.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a deflexão do meio da viga (em L / 2 ) e calcular o deslocamento angular no ponto A . Isto é, θ A .

Para resolvermos esta questão, vamos utilizar o Exemplo 3 da seção 6.3 como base.

Então, vamos começar com o cálculo do θ A . Para isto, vamos imaginar que o ponto B (extremidade direita) se desloca e calcular esse deslocamento. Portanto,

Δ B = ∫ A B x 1 M d x E I

Relembrando, o Δ é a deflexão total, M é a função momento fletor da viga e x 1 é a distância do elemento até o ponto B (até aonde integramos). Portanto, neste caso, x 1 = L - x .

Então, a nossa integral será:

Δ B = ∫ 0 L q L x 2 - q x 2 2 L - x E I d x

Δ B = ∫ 0 L q L 2 x 2 - q L x 2 2 - q L x 2 2 + q x 3 2 E I d x

Δ B = q E I ∫ 0 L L 2 x 2 - L x 2 + x 3 2 d x

Δ B = q E I L 2 x 2 4 - L 2 x + x 4 8 0 L = q L 4 24 E I

Por ser um valor positivo, significa que o ponto B está acima da tangente, como se esperava, pois ele não se desloca para baixo.

Então, como esse Δ B forma um triângulo retângulo de catetos L e Δ B , a inclinação θ A será:

θ a = Δ B L = q L 3 24 E I

E assim a gente finaliza a primeira parte da questão!

Passo 2

Agora nós temos que calcular a deflexão no meio do vão. A deformação em qualquer ponto da viga pode ser calculada por:

Δ = ∫ 0 x x 1 M d x E I

Sendo x a distância do ponto A até o ponto que queremos analisar. Portanto,

Δ = ∫ 0 L / 2 q L x 2 - q x 2 2 L - x E I d x

Δ = ∫ 0 L / 2 q L 2 x 2 - q L x 2 2 - q L x 2 + q x 3 2 E I d x

Δ = q E I ∫ 0 L / 2 L 2 x 2 - L x 2 2 - L x 2 + x 3 2 d x

Δ = q E I L 2 x 2 4 - L x 3 6 - L x 2 4 + x 4 8 0 L / 2

Δ = - 5 q 384 E I

Então, a deflexão no meio da viga é δ = 5 q 384 E I para baixo.

E assim finalizamos a questão!

Resposta

θ a = q L 3 24 E I

δ = 5 q 384 E I

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