Enunciado

Um tubo circular de parede fina e uma barra circular do mesmo material e com a mesma área de seção reta são sujeitos a torção. Qual é a razão da energia de deformação do tubo para a da barra, se as tensões de cisalhamento máximas são as mesmas nos dois casos?

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a razão da energia de deformação do tubo pela a da barra. Além disto, sabe-se que ambas possuem a mesma área transversal, comprimento, material e que estão sujeitas a mesma tensão cisalhante máxima.

Então, vamos aos cálculos! Vamos começar escrevendo a energia de deformação do tubo. Ela será:

U t u b o = T t u b o 2 L 2 G J t u b o

Como temos um tubo de parede fina, conseguimos aproximar o torque por:

T t u b o = τ m á x 2 π r 2 e

Enquanto que o seu momento de inércia é: J t u b o = 2 π r 3 e . Então, se a gente substitui essas duas relações, obtemos:

U t u b o = τ m á x 2 π r 2 e 2 L 2 G ⋅ 2 π r 3 e = 2 π r e L τ m á x 2 2 G

Entretanto, o produto 2 π r e é o valor aproximado da área da seção transversal do tubo de parede fina! Portanto, a energia de deformação pode ser escrita por:

U t u b o = A L τ m á x 2 2 G

Passo 2

Agora a gente tem que fazer o mesmo procedimento, só que para a barra circular. A sua energia de deformação é:

U b a r r a = T b a r r a 2 L 2 G J b a r r a

Mas aqui nós não podemos utilizar a teoria aproximada para paredes finas. De fato, é necessário trabalhar com a teoria exata, a convencional que a gente já vem trabalhando bastante.

Então, através da teoria exata, conseguimos escrever o torque e o momento de inércia por:

T b a r r a = τ m á x J b a r r a r J b a r r a = π r 4 2

Então, a energia de deformação da barra é:

U b a r r a = τ m á x J b a r r a r 2 L 2 G J b a r r a = τ m á x 2 J b a r r a L 2 G r 2

U b a r r a = τ m á x 2 π r 4 2 L 2 G r 2 = τ m á x 2 π r 2 L 4 G

Só que π r 2 é exatamente a área da seção transversal da barra! Portanto,

U b a r r a = A τ m á x 2 L 4 G

Passo 3

Para finalizarmos a questão basta fazermos a razão entre as duas energias de deformação. Portanto,

U t u b o U b a r r a = A L τ m á x 2 2 G A τ m á x 2 L 4 G

U t u b o U b a r r a = 2

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U t u b o U b a r r a = 2

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