Enunciado
Mecânica dos Sólidos - Timoshenko - Mecânica dos sólidos - Vol 1- Ed: 1º - Capítulo 3.4 - Ex. 3
Um tubo circular de parede fina e uma barra circular do mesmo material e com a mesma área de seção reta são sujeitos a torção. Qual é a razão da energia de deformação do tubo para a da barra, se as tensões de cisalhamento máximas são as mesmas nos dois casos?
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Precisamos determinar a razão da energia de deformação do tubo pela a da barra. Além disto, sabe-se que ambas possuem a mesma área transversal, comprimento, material e que estão sujeitas a mesma tensão cisalhante máxima.
Então, vamos aos cálculos! Vamos começar escrevendo a energia de deformação do tubo. Ela será:
Como temos um tubo de parede fina, conseguimos aproximar o torque por:
Enquanto que o seu momento de inércia é: . Então, se a gente substitui essas duas relações, obtemos:
Entretanto, o produto é o valor aproximado da área da seção transversal do tubo de parede fina! Portanto, a energia de deformação pode ser escrita por:
Passo 2
Agora a gente tem que fazer o mesmo procedimento, só que para a barra circular. A sua energia de deformação é:
Mas aqui nós não podemos utilizar a teoria aproximada para paredes finas. De fato, é necessário trabalhar com a teoria exata, a convencional que a gente já vem trabalhando bastante.
Então, através da teoria exata, conseguimos escrever o torque e o momento de inércia por:
Então, a energia de deformação da barra é:
Só que é exatamente a área da seção transversal da barra! Portanto,
Passo 3
Para finalizarmos a questão basta fazermos a razão entre as duas energias de deformação. Portanto,
E assim finalizamos a questão!