Uma viga em balanço suporta uma carga triangular como se vê na figura. Obter as fórmulas para a deflexão δ e o deslocamento angular θ b na extremidade livre.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos determinar a equação da linha elástica, como também a deflexão e o deslocamento angular θ b , para uma viga engastada submetida a um carregamento triangular.

Já que estamos falando do carregamento, vamos aproveitar para obter a sua equação! Ela será:

q x - q 0 = Δ y Δ x x - 0

q x = - q 0 L x + q 0

Agora a gente vai ter um trabalhinho razoável, pois, podemos relacionar a equação da linha elástica com o carregamento através da seguinte relação:

E I v ' ' ' ' = q

Portanto, vamos ter que integrar a equação do carregamento quatro vezes!!! E ainda aplicar as condições de contorno...

Então, vamos as contas!

Passo 2

Agora que a gente já conhece o nosso carregamento, vamos aproveitar para fazer integrações sucessivas (até determinarmos a equação da linha elástica). Portanto,

E I v ' ' ' ' = - q 0 L x + q 0

E I v ' ' ' = - q 0 2 L x 2 + q 0 x + C 1

E I v ' ' = - q 0 6 L x 3 + q 0 2 x 2 + C 1 x + C 2

E I v ' = - q 0 24 L x 4 + q 0 6 x 3 + C 1 2 x 2 + C 2 x + C 3

E I v = - q 0 120 L x 5 + q 0 24 x 4 + C 1 6 x 3 + C 2 2 x 2 + C 3 x + C 4

E assim acabamos a parte de integração da nossa equação!

Passo 3

Agora temos que identificar cada uma das quatro incógnitas. E para isto, precisaremos de condições de contorno.

As primeiras condições que vamos aplicar para esta viga é a deflexão e inclinação nula no engastamento. Isto é, v 0 = v ' 0 = 0 . Portanto,

v 0 = C 4 = 0 v ' 0 = C 3 = 0 ⟹ C 4 = 0 C 3 = 0

Como ainda temos duas incógnitas, precisamos de duas condições de contorno. E elas são E I v ' ' L = 0 e E I v ' ' ' L = 0 . Portanto,

E I v ' ' L = - q 0 L 2 6 + q 0 L 2 2 + C 1 L + C 2 = 0 E I v ' ' ' L = - q 0 L 2 + q 0 L + C 1 = 0 ⟹ C 2 = - C 1 L - q 0 L 2 3 C 1 = - q 0 L 2

Então, temos C 1 = - q 0 L 2 e C 2 = q 0 L 2 6 . Portanto, a equação da linha elástica é:

v x = 1 E I - q 0 120 L x 5 + q 0 24 x 4 + - q 0 L 2 6 x 3 + q 0 L 2 6 2 x 2

v x = q 0 x 2 120 L E I - x 3 + 5 L x 2 - 10 L 2 x + 10 L 3

E assim chegamos a nossa equação da linha elástica!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, temos que descobrir a equação da deflexão e do deslocamento angular em x = L . Portanto, a deflexão será:

δ = v L = q 0 L 4 30 E I

Já o deslocamento angular será:

θ b = v ' L = q 0 L 3 24 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

v x = q 0 x 2 120 L E I - x 3 + 5 L x 2 - 10 L 2 x + 10 L 3

δ = q 0 L 4 30 E I

θ b = q 0 L 3 24 E I

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