Uma viga com extremidades em balanço (ver a figura) suporta uma carga uniforme de intensidade q = 1,5   k g f / m m em cada balanço. Admitindo que a viga seja um perfil H 30 × 172 com E = 21000   k g f / m m 2 , determinar a tensão normal máxima na viga e a deflexão para cima, δ , no meio da viga.

Passo 1

Nosso objetivo principal é determinar a tensão normal máxima na viga e a deflexão para cima, δ , no meio da viga.

Pois muito bem! Sabemos que a fórmula da tensão é dada por:

σ = M F l y I z z

Onde...

  • M F l é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção
  • I z z é o momento de inércia da área da seção

Lembrando que dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos ou negativos, de tração ou de compressão.

Passo 2

Agora, vamos voltar nossa atenção pra obtenção dos diagramas de esforço cortante e momento fletor da viga. Por isso, façamos um esboço do diagrama de corpo livre...

Como nossa barra é simétrica, temos que...

R 1 = R 2 = 3 q = 4500   k g f

De boinhas, né? Bora lá, então! Vamos dividir a viga em três seções específicas pra determinar nossa momento fletor...

  • Seção A - C
  • Seção C - D
  • Seção D - F

Começando pela seção A - C , temos que...

↑ + ∑ F y = 0

- V - q x = 0

V = - q x = ( - 1,5   k g f / m m ) x

⤻ + ∑ M = 0

M + q x ⋅ x 2 = 0

M = - q 2 x 2 = - ( 0,75   k g f / m m ) x 2

Para a seção C - D , temos que...

↑ + ∑ F y = 0

- V - 3 q + R 1 = 0

V = 0

⤻ + ∑ M = 0

M + 3 q ⋅ x - 1,5 - 3 q ( x - 3 ) = 0

M + 3 q ⋅ x - 1,5 - 3 q ( x - 3 ) = 0

M + 3 q x - 4,5 q - 3 q x + 9 q = 0

M = - ( 4,5   m 2 ) q = - ( 4500000   m m 2 ) q

E finalmente para a seção D - F , temos que...

↑ + ∑ F y = 0

- V - 3 q + R 1 + R 2 - q ( x - 9 ) = 0

V = - 12 q + q x

V = - 12000   m m q + ( 1,5   k g f / m m ) x

⤻ + ∑ M = 0

M + 3 q ⋅ x - 1,5 - 3 q x - 3 - 3 q x - 9 + q x - 9 x - 9 2 = 0

M + 3 q x - 4,5 q - 3 q x + 9 q - 3 q x + 27 q + q 2 ( x 2 - 18 x + 81 ) = 0

M + 31 , 5 q + 0,75 x 2 - 12 q x + 40,5 q = 0

M = - 0,75 x 2 + 12 q x + 72 q

M = - ( 0,75   k g f / m m ) x 2 + ( 12000   m m ) q x - ( 72000000   m m 2 ) q

Chegamos assim, até o seguinte diagrama de momento fletor...

Onde podemos ver que o módulo do momento fletor máximo na viga é...

M m á x = 6750000   k f g ⋅ m m

Passo 3

Obtido o momento máximo, vamos dar uma olhada na tabela com as vigas do tipo H ...

Com base nela podemos extrair os outros dois dados que faltam na fórmula abaixo...

σ = M F l y I z z

Que são o I z z e o valor do y ! Pela tabela, temos que...

I = I z z = 7910   p o l 4 = 3,29239 ⋅ 10 9   m m 4

y = 29,88 2   p o l = 379,476   m m

Logo, a tensão máxima vai ser dada por...

σ m á x = ( 6750000   k f g ⋅ m m ) ( 379,476   m m ) 3,29239 ⋅ 10 9   m m 9

σ m á x = 0,777   k g f / m m 2

Passo 4

Agora, vamos atrás da deflexão! Representando aquela força distribuída do enunciado como se fosse apenas uma força comum, obtemos a seguinte figura, onde está esquematizada a deflexão δ ...

E como podemos ver aí em cima, δ vai ser dada por...

δ = ρ ( 1 - cos ⁡ θ )

Onde θ é um ângulo pequeno, geralmente dado pela seguinte fórmula...

θ = L 2 ρ

E o raio de curvatura, a gente já sabe que a fórmula dele é dada por...

ρ = E I M

Onde M é aquele momento máximo lá que a gente já tinha determinado no P a s s o   2 :

M m á x = 6750000   k f g ⋅ m m

Sendo assim;

ρ = E I M

ρ = ( 21000   k g f / m m 2 ) ( 3,29239 ⋅ 10 8   m m 4 ) 6750000   k f g ⋅ m m

ρ = 1024299,111   m m

Então, calculando θ :

θ = L 2 ρ

θ = ( 6000   m m ) 2 ⋅ ( 1024299,111   m m )

θ = 0,00439   r a d

Temos que o valor de δ vai ser igual à...

δ = ρ ( 1 - cos ⁡ θ )

δ = ( 1024299,111   m m ) ( 1 - cos ⁡ 0,00439   r a d )

δ ≅ 4,4   m m

O gabarito do livro na tensão máxima deu 7 , 77   k g f / m m 2 , mas aparentemente está errado, tanto que o produto pegou aqui os mesmos valores pra obter a deflexão e achou o valor certo para δ !

Show!?

Resposta

σ m á x = 0,777   k g f / m m 2

δ ≅ 4,4   m m

Ver Outros Exercícios desse livro