Uma viga de seção reta em forma de U é sujeita a um momento fletor em relação ao eixo z . Qual deve ser a espessura, e , de maneira que as tensões na flexão no topo e na base do perfil estejam na razão 3 : 1 , sendo b = 75   m m e h = 200   m m ?

Passo 1

Vamos começar!

O que nós sabemos?

Sabemos que a força P   na viga vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Esses momentos fletores M F l vão gerar na viga tensões normais de flexão σ , de acordo com a fórmula da flexão:

σ = M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

Lembrando que nessa equação, dependendo dos sinais de M F l e de y , a tensão σ pode assumir valores positivos (de tração) ou negativos (de compressão).

Beleza!

E o que é que está acontecendo no exercício?

Nesse exercício, vamos ter certas seções da viga onde o momento fletor M F l vai ter os seus “valores críticos”: os seus maiores valores positivo e negativo.

Nessas seções, que vamos chamar de “seções críticas”, há a chance de que a tensão normal σ atinja, ou no topo ou na base da seção, o seu valor máximo em tração ( + ):

σ m á x , t r a ç ã o

...e/ou o seu valor máximo em compressão ( - ):

σ m á x , c o m p .

...sendo que, para a viga do exercício, essas tensões tem que estar numa razão de 3 para 1 . Ou seja, essas tensões tem que satisfazer as condições:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine a espessura e , de tal forma que as condições acima ainda sejam respeitadas.

Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:

1. Encontrar os momentos fletores M F l críticos na viga em função de w .

Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

2. Analisar a geometria em “ T ” da seção transversal da viga para encontrar a posição y - de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área I z z .

3. Definir os “valores críticos” de y para a viga e aplicar a fórmula da flexão σ = M F l y / I z z usando esses valores e os momentos fletores M F l críticos encontrados anteriormente.

Assim, vamos encontrar as tensões σ máximas de tração ( + ) e compressão ( - ) na viga

E, finalmente, 4. Aplicar as condições na razão dada de 3 : 1

Assim, vamos descobrir o valor de e !

Passo 2

Então vamos começar encontrando os momentos fletores M F l críticos na viga através dos métodos da estática!

O exercício não nos disse nada sobre o momento fletor! Então, vamos supor que ele vai ser dado por uma letra M ...

M o m e n t o   F l e t o r → M

Passo 3

Agora, podemos seguir para o estudo das propriedades geométricas da seção transversal dessa viga, começando pela determinação da:

Para calcular essa posição, devemos observar a geometria da seção da viga:

Com isso, podemos finalmente calcular a posição y - da linha neutra usando a fórmula:

y - = ∑ A i y - i ∑ A i

y - = 2 e ( 75 - e ) ⋅ e + 75 - e 2     + 200 e ⋅ e / 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

y - = 2 e ( 75 - e ) ⋅ e + 75 - e 2     + 200 e ⋅ e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

y - = 2 e ( 75 - e ) ⋅ 75 + e 2     + 200 e ⋅ e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

y - = e ( 5625 - e 2 )     + 200 e ⋅ e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

y - = e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

Que é a posição da nossa linha neutra!

Passo 4

Depois da posição da linha neutra, podemos calcular para a seção da nossa viga o:

Aqui, devemos começar calculando o momento de inércia da área I i de cada elemento.

No nosso caso, tanto o elemento 1 quanto o elemento 2 tem o mesmo momento de inércia.

Dessa forma, os dois vão ter momentos de inércia da área dados pela fórmula I i = b h 3 / 12 .

Assim, para o elemento 1 e 2 que estão em pé com uma base b = e e uma altura h = 75 - e , vamos ter que:

I 1 = I 2 = e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2

Já para o elemento 3 , que está deitado com uma base b = 200   m m uma altura h = e , vamos ter que:

I 3 = 200 e 3 12 + 200 e e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e - e 2 2

E calculando tudo, vamos encontrar que:

I z z = 2 e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2 + 200 e 3 12 + 200 e e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e - e 2 2

Passo 5

Agora, podemos definir os “valores críticos” (máximos positivo e negativo) de y para essa viga.

Assim, vamos poder aplicar a fórmula da flexão σ = M F l y / I z z usando esses valores e o valor crítico de M F l encontrados lá no passo 5 .

Então vamos lá!

Em qualquer viga, os valores máximos positivo e negativo de y vão acontecer para o topo e para a base da viga.

Para a nossa viga:

Isso significa que o valor máximo positivo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y b a s e = e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

E que o valor mínimo negativo da posição y de um ponto dessa seção em relação à sua linha neutra vai ser:

y t o p o = 75 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

Passo 6

Com esses valores, temos que as tensões na base e no topo vão valer...

σ b a s e = M e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2 e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - 225 25 + e 2 175 - e 2 + 200 e 3 12 + 200 e 225 25 + e 2 175 - e - e 2 2

σ t o p o = M 75 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2 e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - 225 25 + e 2 175 - e 2 + 200 e 3 12 + 200 e 225 25 + e 2 175 - e - e 2 2

Como temos que ter o seguinte...

σ t o p o σ b a s e = 3

Então, ficamos com...

e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2 e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - 225 25 + e 2 175 - e 2 + 200 e 3 12 + 200 e 225 25 + e 2 175 - e - e 2 2 75 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 2 e 75 - e 3 12 + e 75 - e 37,5 - 225 25 + e 2 175 - e 2 + 200 e 3 12 + 200 e 225 25 + e 2 175 - e - e 2 2 = 3

e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e 75 - e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e = 3

e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e = 225 - 3 e 5625 - e 2 + 100 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e

4 e 5625 - e 2 + 4 00 e 2 2 e ( 75 - e ) + 200 e = 225

4 5625 - e 2 + 4 00 e 2 ( 75 - e ) + 200 = 225

2 5625 - e 2 + 200 e ( 75 - e ) + 1 00 = 225

11250 - 2 e 2 + 200 e = - 16875 - 225 e + 22500

2 e 2 - 425 e + 5625 = 0

Tirando a raiz...

e = 425 ± 425 2 - 4 ⋅ 2 ⋅ 5625 2 ⋅ 2

Obtemos o seguinte resultado...

e ≅ 7,2   m m

Pronto! Finalizamos aqui! Até a próxima!

Resposta

e ≅ 7,2   m m

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