Para a viga da Fig. 5-1a, sendo a = L / 4 , calcular a energia de deformação U . Usando esse resultado, calcular a deflexão δ no ponto da aplicação de uma das cargas.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular a energia de deformação da viga da Fig. 5-1a, a qual é simplesmente apoiada e submetida a duas forças P , conforme pode ser visto na figura.

Depois devemos descobrir a deflexão δ no ponto de aplicação de uma das cargas.

Bom, sabemos que o momento fletor irá variar de acordo com a seção analisada na viga. Além disto, sabemos que ele é dado por:

M = P x ,     0 ≤ x ≤ a M = P a ,     a ≤ x ≤ L - a M = P L - x ,     L - a ≤ x ≤ L  

Então, como o momento fletor varia, a energia de deformação deverá ser calculada através da seguinte integral:

U = ∫ M 2 2 E I d x

Substituindo as relações e limites de integração adequados, temos:

U = ∫ 0 a P 2 x 2 2 E I d x + ∫ a L - a P 2 a 2 2 E I d x + ∫ L - a L P 2 L - x 2 2 E I d x

Agora, só nos resta irmos as contas!

Passo 2

Para que a gente determine a energia de deformação, basta calcularmos a integral desenvolvida no Passo 1. Como o enunciado da questão nos informou que a = L / 4 , temos:

U = ∫ 0 L / 4 P 2 x 2 2 E I d x + ∫ L / 4 3 L / 4 P 2 L 2 32 E I d x + ∫ 3 L / 4 L P 2 L - x 2 2 E I d x

U = P 2 2 E I x 3 3 0 L / 4 + P 2 L 2 32 E I x L / 4 3 L / 4 + P 2 2 E I   - L - x 3 3 3 L / 4 L

U = P 2 L 3 384 E I + P 2 L 3 64 E I + P 2 L 3 384 E I

U = P 2 L 3 48 E I

E assim terminamos a primeira parte da questão!

Passo 3

Já para encontrarmos a deflexão em um ponto logo embaixo da força P , basta igualarmos a energia de deformação com o trabalho das duas forças P , que é igual a P δ .

Portanto,

P 2 L 3 48 E I = P δ

δ = P L 3 48 E I

E assim finalizamos a questão!

Resposta

U = E I δ 2 π 4 4 L 3

δ = P L 3 48 E I

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