Uma viga de madeira de seção reta circular, é apoiada em A e B e suporta uma carga uniforme q = 500   k g f / m ao longo do balanço (ver a figura). Determinar o diâmetro d se σ a d m = 85,0   k g f / c m 2 ; a = 1,00   m ; b = 2,00   m . Desprezar o peso da viga.

Passo 1

Vamos começar!

O que nós sabemos?

Sabemos que o carregamento distribuído q na viga vai gerar nela esforços internos na forma de forças cortantes V e momentos fletores M F l .

Esses momentos fletores M F l vão gerar na viga tensões normais de flexão σ , de acordo com a fórmula da flexão:

σ = M F l y I z z

Onde:

  • M F l (ou só “ M ”) é o momento fletor em uma seção transversal da viga;
  • y é a posição do ponto da seção em que se quer calcular a tensão σ em relação à linha neutra da seção;
  • & I z z (ou só “ I ”) é o momento de inércia da área da seção.

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente determine o valor admissível do diâmetro d de tal forma que satisfaça uma tensão admissível σ a d m de 85,0   k g f / c m 2 .

Então, para resolver esse exercício, vamos ter que:

1. Encontrar o momento fletor M F l crítico na viga em função de.

Para tanto, podemos aplicar os métodos da estática: DCL, equilíbrio, análise dos esforços internos & diagramas de esforços internos.

2. Analisar a geometria da viga para encontrar a posição y - de sua linha neutra e o seu momento de inércia da área I z z .

3. Definir os “valores críticos” de y para a viga e aplicar a fórmula da flexão σ = M F l y / I z z usando esses valores e os momentos fletores M F l críticos encontrados anteriormente.

Assim, vamos encontrar as tensões σ máximas de tração ( + ) e compressão ( - ) na viga em função da carga distribuída desconhecida w .

E, finalmente, 4. Aplicar a condição do σ a d m para obter o d .

Passo 2

Então vamos começar encontrando os momentos fletores M F l críticos na viga através dos métodos da estática!

Começando pelo primeiro passo dos métodos da estática, temos o DCL ou:

Para essa viga, temos que...

Passo 3

Feito o DCL, seguimos para o:

Aplicando o equilíbrio de forças na vertical, temos que:

R 1 + R 2 = 2 q

R 1 + R 2 = 1000   k g f

E então, aplicando o somatório de forças em relação ao ponto A ...

⤿ + ∑ M A = 0

R 2 ⋅ 1 - 1000   k g f ⋅ 2 = 0

R 2 = 2000   k g f

Sendo assim;

R 1 + R 2 = 1000   k g f

R 1 = - 1000   k g f

Passo 4

Encontrados os valores dos esforços externos atuantes na nossa viga, podemos seguir agora para a:

Então precisamos avaliar as duas seções da barra, que são a seção 1 , entre 0 e 1,0   m e a seção 2 , entre 1,0 e 3,0   m .

  • Para a seção 1 :
  • ↑ + ∑ F = 0

    - V + R 1 = 0

    V = R 1 = - 1000   k g f

    ⤿ + M = 0

    M + R 1 x = 0

    M = - R 1 x = - 1000 x

  • Para a seção 2 :

↑ + ∑ F = 0

- V + R 1 + R 2 - 500 ( x - 1 ) = 0

V = 1500 - 500 x

⤿ + M = 0

M + R 1 x - R 2 x - 1,0 + 500 x - 1 x - 1 2 = 0

M + 1000 x - 2000 x - 1,0 + 500 x - 1 x - 1 2 = 0

M - 1000 x + 2000 + 250 x - 1 ( x - 1 ) = 0

M - 1000 x + 2000 + 250 x 2 - 500 x + 250 = 0

M = - 250 x 2 + 1500 x - 2250

Assim...

Juntando tudo que acabamos de ver...

Conseguimos desenhar o diagrama de momento fletor abaixo para essa viga:

E tcharam! 😎

Desse diagrama de momento fletor, conseguimos retirar o valor crítico...

M F l m á x = 1000   k g f ⋅ m = 10 5   k g f ⋅ c m

E assim terminamos toda a parte dos métodos da estática.

Passo 5

Com esses valores, podemos achar o valor de d :

σ a d m = M F l y I z z

Sabendo que para uma viga com seção transversal circular, temos que...

y = d 2

I z z = π 4 r 4 = π 64 d 4

Uma vez que conhecemos o σ a d m ...

σ a d m = M F l y I z z

85,0   k g f / c m 2 = 10 5   k g f ⋅ c m d 2   π 64 d 4

85,0   k g f / c m 2 = 32 ( 10 5   k g f ⋅ c m ) π d 3

85 π d 3 = 3200000

d = 22,888   c m

d ≅ 229   m m

Resposta

d ≅ 229   m m

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