A viga A B C D , mostrada na figura, tem as as extremidades em balanço e suporta uma carga distribuida, cuja intensidade varia linearmente. Para que razão de a / L a força cortante V será sempre nula no meio da viga?

Passo 1

O problema quer saber com que proporção de a / L a força cortante no meio da viga é nulo. Vamos começar com um diagraminha de corpo livre, que fica assim:

Passo 2

Belezinha, agora vamos encontrar as forças de dos apoios, a gente pode notar aqui que só existem forças atuando no eixo vertical, então vamos usar o equilíbrio de forças:

∑ F y = 0

F A + F B - q 1 + q 2 2 2 a + L = 0

F A + F B = q 1 + q 2 2 2 a + L

Passo 3

Bom, para o efeito cortante ser nulo no meio precisamos que as forças resultantes de cada metade da viga seja nula. Então vamos pegar apenas metade da viga:

Usando o equilíbrio de forças temos:

F a - 1 2 q 1 + q 1 + q 2 2 a + L 2 = 0

F a = 1 2 q 1 + q 1 + q 2 2 a + L 2

Fazendo o mesmo na outra metade temos:

F B - 1 2 q 1 + q 2 2 + q 2 a + L 2 = 0

F B = 1 2 q 1 + q 2 2 + q 2 a + L 2

Passo 4

Show de bolinhas? Agora usamos isso para substituir na equação da viga inteira, vai ficar grandinha, mas confia em mim:

F A + F B = q 1 + q 2 2 2 a + L

1 2 q 1 + q 1 + q 2 2 a + L 2 + 1 2 q 1 + q 2 2 + q 2 a + L 2 = q 1 + q 2 2 2 a + L

Vamos simplificando agora, para deixar em função de a e L :

q 1 + q 1 + q 2 2 a + L 2 + q 1 + q 2 2 + q 2 a + L 2 = 2 q 1 + q 2 2 2 a + L

a + L 2 q 1 + q 1 + q 2 2 + q 1 + q 2 2 + q 2 = 2 q 1 + q 2 2 2 a + L

a + L 2 2 q 1 + 2 q 2 = ( q 1 + q 2 ) 2 a + L

a + L 2 2 q 1 + q 2 = ( q 1 + q 2 ) 2 a + L

2 a + L 2 = 2 a + L

a L = 1 4

Resposta

a L = 1 4

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