Em cada item a seguir, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da função dada. Em seguida, determine seus pontos de máximo e mínimo locais (se existirem).

(a) f x = 2 x 3 - 15 x 2 + 24 x - 5

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos onde a função cresce e decresce, além de seus pontos de máximo e mínimo locais.

Pra isso, vamos precisar fazer o famoso teste de crescimento e decrescimento, que basicamente consiste em verificar o sinal da derivada da função. Isso porque se f ' x > 0 , em um intervalo a ,   b , então a função f é crescente nesse intervalo. E se f ' x < 0 , em um intervalo ( a ,   b ) , então a função f é decrescente nesse intervalo.

Além disso, nos locais onde f ' x = 0 temos nossos pontos críticos, que vão ser candidatos a máximo ou mínimo da função. Supondo que esse ponto crítico seja c , o teste da primeira derivada nos diz que:

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   p o s i t i v o   p a r a   n e g a t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m á x i m o   l o c a l   e m   c

S e   o   s i n a l   d e   f '   m u d a r   d e   n e g a t i v o   p a r a   p o s i t i v o   e m   c ,   e n t ã o   f   t e m   u m   m í n i m o   l o c a l   e m   c

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x = 2 x 3 - 15 x 2 + 24 x - 5

Derivando ela em relação a x , usando a regrinha da potência, vamos obter:

f ' x = 6 x 2 - 30 x + 24

Agora vamos fazer o estudo de sinal de f ' ( x ) para verificar os intervalos onde a função é crescente ou decrescente.

Repara que nós temos uma soma, mas pra fazer o estudo de sinal é interessante deixarmos a função como um produto ou quociente, pra facilitar nossa análise. Então, vamos fatorar nossa expressão:

f ' x = 6 ( x 2 - 5 x + 4 )

f ' x = 6 ( x - 4 ) ( x - 1 )

Agora vamos montar o quadro de sinais pra entender o comportamento dessa função.

Passo 3

Se olharmos os termos do produto, vamos ver que dependendo do valor de x , a derivada será positiva (ou seja, maior que zero) ou negativa (menor que zero). Então, para montar o quadro de sinais, a gente começa achando os pontos em que cada termo será igual a zero, em outras palavras, vamos achar as raízes da equação.

6 x - 4 = 0 → x - 4 = 0 → x = 4

x - 1 = 0 → x = 1

Agora vamos finalmente para o quadro de sinais. Vamos colocar em cima da tabela, em ordem crescente, todas as raízes dos termos e na primeira coluna colocamos os termos da derivada, a própria f ' ( x ) original e a nossa função f ( x ) .

Então vamos preencher a tabela analisando os intervalos onde cada termo é negativo ou positivo, na primeira e na segunda linha. Na linha da derivada, a gente preenche fazendo a multiplicação dos sinais de cada termo.

As setinhas para cima indicam onde a derivada é positiva e consequentemente, os intervalos de crescimento da função. Assim como as setinhas para baixo, indicam onde a função decresce. Representanto esses intervalos, vamos ter:

C r e s c i m e n t o → - ∞ ,   1 ∪ ( 4 ,   + ∞ )

D e c r e s c i m e n t o → ( 1 ,   4 )

Passo 4

Agora repare que a nossa função cresce até o ponto crítico x = 1 e depois passa a decrescer, indicando que temos um ponto de máximo local. Em seguida, observamos que a função decresce até x = 4 e depois volta a crescer, indicando a existência de um ponto de mínimo local.

Substituindo esse valores na função, temos:

f 1 = 2 ( 1 ) 3 - 15 1 2 + 24 1 - 5 = 6

f 4 = 2 ( 4 ) 3 - 15 4 2 + 24 4 - 5 = - 21

Assim, temos os pontos:

M á x i m o → ( 1 ,   6 )

M í n i m o → ( 4 ,   - 21 )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

C r e s c i m e n t o → - ∞ ,   1 ∪ ( 4 ,   + ∞ )

D e c r e s c i m e n t o → ( 1 ,   4 )

P o n t o   d e   M á x i m o → ( 1 ,   6 )

P o n t o   d e   M í n i m o → ( 4 ,   - 21 )

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