Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão for igual a 5 c m

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou traduzir ela para você! Vamos ao enunciado:

Calcule a taxa de variação do volume de um balão esférico em relação ao seu raio, quando o raio do balão for igual a 5 c m

Logo de cara vemos um ‘calcule a taxa de variação’: aí você precisa associar isso a DERIVADA. Então aqui vamos derivar! Mas o que em relação ao que? Vamos juntos mais um pouco...

Em seguida temos “... do volume de um balão esférico em relação ao seu raio”: aqui você identifica que precisa derivar a relação que junta o volume de uma coisa esférica com seu raio

Ou seja: equação do volume de uma esfera! Beleza até aqui?

Até aqui já vimos que queremos uma taxa de variação. Mas em qualquer momento? Não!

Queremos a derivada quando r = 5 c m . Então precisamos achar essa derivada e aplicar em r = 5 !

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Queremos uma relação entre o volume e o raio de uma esfera é:

V = 4 3 π r 3

Beleza? E o problema pede a taxa com que o volume V varia em relação ao raio r, então queremos

d V d r

A ideia aqui é derivar dos dois lados a equação do volume em relação a r !

d V d r = 4 3 d d r r 3

d V d r = 4 3 3 . r 2 d r d r

Simplificando temos:

d V d r = 4 r 2

Beleza? Vamos guardar esse resultado!

Passo 3

Estamos quase lá! Agora nossa missão é aplicar o valor r = 5 na taxa de variação!

d V d r = 4 r 2

d V d r = 4 5 2 = 100

E é isso! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

100

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