Uma escada com 5   m de comprimento está apoiada numa parede vertical. Se a base da escada for puxada horizontalmente, afastando-se da parede a 3   m / s , qual a velocidade com que a parte superior da escada estará deslizando ao longo da parede, quando a sua base estiver a 3   m da parede?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa com que a parte superior da escada estará deslizando na parede, quando puxamos sua base a uma taxa de 3   m / s e a base estiver a 3   m da parede. Ou seja, queremos descobrir d y d t quando d x d t = 3   m / s e x t = 3   m .

A gente pode relacionar essas variáveis através da fórmula de Pitágoras, porque a escada forma um triângulo retângulo com a parede. Assim, derivando implicitamente a relação, a gente consegue com que apareça o termo d y d t , que é o valor que queremos encontrar.

Vamos lá!

Passo 2

Como a escada tem um comprimento fixo de 5   m e nós queremos saber sua altura quando sua base estiver a 3   m da parede, pelo Teorema de Pitágoras, temos:

5 2 = y 2 + 3 2

Isolando y :

y = 25 - 9

y = 4

Então, quando a escada estiver a 3   m da parede, ela estará a 4   m do chão.

Passo 3

Agora podemos usar o teorema de Pitágoras novamente para encontrar uma relação entre as funções x ( t ) e y ( t ) . Como elas representam os lados do triângulo retângulo formado pela escada e a parede, temos:

25 = x 2 t + y 2 ( t )

Estamos enfatizando que x e y são funções de t . Então, derivando essa relação implicitamente, vamos ter:

d d t 25 = d d t x 2 t + d d t y 2 ( t )

0 = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Repare que apareceu nosso termo de interesse, que é o d y d t . Nós vimos no enunciado que d x d t = 3   m / s e que em x = 3   m , temos y = 4   m . Então, substituindo na equação, vamos obter:

2 ∙ 3 3 + 2 ∙ 4 d y d t = 0  

d y d t = - 18 8

Simplificando:

d y d t = - 9 4 m / s

Então, o topo da escada desce a uma velocidade de - 9 4 m / s , quando a base da escada está a 3   m da parede.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d y d t = - 9 4 m / s

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