Calcule, caso exista, o limite limlimitsx to 0 dfracsen (5x)x.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite limlimitsx to 0 dfracsen (5x)x. Esse exercício está na área de cálculo, mais especificamente sobre limites de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender a regra básica do limite envolvendo seno e como aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, lembramos que existe um limite fundamental em cálculo: limlimitsx to 0 dfracsen xx = 1. Esse limite nos diz que, conforme x se aproxima de 0, a razão entre o seno de x e x tende a 1.

Passo 3

No nosso caso, temos sen (5x) em vez de sen x. Para ajustar isso ao limite que conhecemos, podemos fatorar o 5 do seno. Vamos reescrever a expressão:
dfracsen (5x)x = 5 cdot dfracsen (5x)5x

Passo 4

Agora, olhe para a parte dfracsen (5x)5x. Se fizermos uma substituição simples, chamando u = 5x, então quando x tende a 0, u também tende a 0. Assim, podemos usar o limite conhecido:
limlimitsu to 0 dfracsen uu = 1

Passo 5

Voltando à nossa expressão, sabemos que limlimitsx to 0 dfracsen (5x)5x = 1. Então, substituindo isso na nossa equação anterior:
limlimitsx to 0 dfracsen (5x)x = 5 cdot 1 = 5

Resposta

O limite é igual a 5.

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