Calcule limlimitsx to +infty dfracx - raizx^2 - 2xx + raizx^2 - 2x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando tende a mais infinito da expressão . Vamos precisar usar conceitos de limite no infinito e manipulação algébrica para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão quando é muito grande. Quando cresce indefinidamente, o termo domina o , então se comporta quase como .

Passo 3

Para simplificar a fração, vamos racionalizar numerador e denominador. Multiplicamos e dividimos por x - raizx^2 - 2xx + raizx^2 - 2x times x + raizx^2 - 2xx + raizx^2 - 2x = (x - raizx^2 - 2x)(x + raizx^2 - 2x)(x + raizx^2 - 2x)^2 , que é o conjugado do denominador:

Passo 4

No numerador, aplicamos a identidade (x)^2 - (raizx^2 - 2x)^2 = x^2 - (x^2 - 2x) = x^2 - x^2 + 2x = 2x :
2x(x + raizx^2 - 2x)^2
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que . Para grande, usando a aproximação de Taylor.
Então, .
Agora, o denominador ao quadrado fica para muito grande.

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
2x4x^2 = 24x = 12x

Passo 7

Finalmente, calculamos o limite quando limx to +infty 12x = 0 tende a mais infinito:

Resposta

O limite é .

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