Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Vamos precisar usar conceitos de limite no infinito e manipulação algébrica para simplificar essa expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão
quando
é muito grande. Quando
cresce indefinidamente, o termo
domina o
, então
se comporta quase como
.
Passo 3
Para simplificar a fração, vamos racionalizar numerador e denominador. Multiplicamos e dividimos por
, que é o conjugado do denominador:
Passo 4
No numerador, aplicamos a identidade
:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que
. Para
grande,
usando a aproximação de Taylor.
Então,
.
Agora, o denominador ao quadrado fica
para
muito grande.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão original:
Passo 7
Finalmente, calculamos o limite quando
tende a mais infinito:
Resposta
O limite é
.