Calcule, caso exista, limlimitsx to 0 dfracraiz[3]x^3 + 2x^4x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 para a expressão . Vamos usar conceitos de limites e propriedades de radicais para resolver isso.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Observe que:
x^3 + 2x^4 = x^3 (1 + 2x)
Isso nos permite reescrever a raiz cúbica da seguinte forma:
raiz[3]x^3 + 2x^4 = raiz[3]x^3 (1 + 2x)

Passo 3

Agora, usamos a propriedade dos radicais que diz que a raiz de um produto é o produto das raízes. Assim:
raiz[3]x^3 (1 + 2x) = raiz[3]x^3 cdot raiz[3]1 + 2x
Sabemos que:
raiz[3]x^3 = x
Portanto, a expressão fica:
x cdot raiz[3]1 + 2x

Passo 4

Substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
raiz[3]x^3 + 2x^4x = x cdot raiz[3]1 + 2xx
Aqui, os raiz[3]1 + 2x no numerador e no denominador se cancelam, ficando apenas:

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa expressão simplificada quando limx to 0 raiz[3]1 + 2x tende a 0:
raiz[3]1 + 0 = raiz[3]1 = 1
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então:

Resposta

O limite é igual a 1.

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