Seja
.
a) Determine o domínio de
.
b) Determine, se possível,
e
.
c)
é contínua em
? Justifique.
a) Determine o domínio de
b) Determine, se possível,
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem a função
. Vamos trabalhar com domínio, limites e continuidade dessa função. Pra resolver tudo isso, vamos precisar entender como funciona o valor absoluto e como calcular limites. Bora lá!
Passo 2
a) Determinar o domínio de
.
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Na nossa função
, temos um denominador:
.
Lembremos que uma fração só é indefinida quando o denominador é zero. Então, vamos ver quando
:
Isso significa que quando
, a função não está definida. Portanto, o domínio de
é todos os números reais exceto zero.
Dominio de
:
Passo 3
b) Determinar, se possível,
e
.
Vamos calcular o limite pela direita (
) e pela esquerda (
).
Primeiro, vamos entender o que é
:
Para
(valores positivos próximos de 0):
Então,
Para
(valores negativos próximos de 0):
Então,
Passo 4
c)
é contínua em
? Justifique.
Para a função ser contínua em
, três condições precisam ser atendidas:
-
está definida. -
existe. -
.
Vamos verificar:
-
está definida? No passo 2, vimos que o domínio deé . Ou seja, NÃO está definida. -
existe? Já calculamos os limites laterais:Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe. -
Condição final:Já que o limite não existe e
não está definida, a função não é contínua em .
Resposta
a) O domínio de
é
.
b)
e
.
c) A função
NÃO é contínua em
.