Seja f(x) = dfracx|x|.
a) Determine o domínio de f.
b) Determine, se possível, limlimitsx to 0^+ f(x) e limlimitsx to 0^- f(x).
c) f é contínua em x = 0? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem a função . Vamos trabalhar com domínio, limites e continuidade dessa função. Pra resolver tudo isso, vamos precisar entender como funciona o valor absoluto e como calcular limites. Bora lá!

Passo 2

a) Determinar o domínio de |x| = 0 implies x = 0 .
Primeiro, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Na nossa função , temos um denominador: .
Lembremos que uma fração só é indefinida quando o denominador é zero. Então, vamos ver quando :
Isso significa que quando , a função não está definida. Portanto, o domínio de é todos os números reais exceto zero.
Dominio de :

Passo 3

b) Determinar, se possível, |x| = x, & se x >= 0 -x, & se x < 0 e f(x) = dfracx|x| = dfracxx = 1 .
Vamos calcular o limite pela direita ( limlimitsx to 0^+ f(x) = 1 ) e pela esquerda ( f(x) = dfracx|x| = dfracx-x = -1 ).
Primeiro, vamos entender o que é limlimitsx to 0^- f(x) = -1 :
Para (valores positivos próximos de 0):
Então,
Para (valores negativos próximos de 0):
Então,

Passo 4

c) limlimitsx to 0^+ f(x) = 1 e limlimitsx to 0^- f(x) = -1 é contínua em ? Justifique.
Para a função ser contínua em , três condições precisam ser atendidas:
  1. está definida.
  2. existe.
  3. .
Vamos verificar:
  1. está definida?
    No passo 2, vimos que o domínio de é . Ou seja, NÃO está definida.
  2. existe?
    Já calculamos os limites laterais:
    Como os limites laterais são diferentes, o limite geral não existe.
  3. Condição final:
    Já que o limite não existe e não está definida, a função não é contínua em .

Resposta

a) O domínio de é .
b) e .
c) A função NÃO é contínua em .

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