Considere um ponto de uma peça cujas tensões são dadas por:
[sigma]=[lll 230 & 0 & 0 0 & 350 & 140 0 & 140 & 460 ] [MPa]
Sabendo-se que a peça é confeccionada com um material frágil com sigma rup =650 MPa pode-se afirmar que haverá ruptura neste ponto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Mecânica dos Sólidos, especificamente sobre Análise de Tensões. A gente precisa verificar se uma peça vai sofrer ruptura em um ponto específico, dado um estado de tensões e a tensão de ruptura do material. Pra resolver isso, vamos precisar entender como identificar se as tensões presentes vão ultrapassar o limite que o material suporta antes de quebrar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz de tensões que você me deu:
[sigma]= 230 & 0 & 0 0 & 350 & 140 0 & 140 & 460 [MPa]
Essa matriz representa as tensões normais e de cisalhamento em diferentes direções no ponto considerado da peça. Nosso objetivo é descobrir se, em algum desses pontos, as tensões são altas o suficiente para causar a ruptura do material.

Passo 3

Para isso, vamos usar o Critério da Tensão Principal Máxima, que é bastante utilizado para materiais frágeis. Esse critério diz que a ruptura ocorre quando a maior tensão principal no material excede a tensão de ruptura ( sigmarup).
Primeiro, precisamos encontrar as tensões principais ( sigma1, sigma2, sigma3), que são as tensões máximas e mínimas que existem no ponto, sem considerar as direções de cisalhamento.

Passo 4

Para encontrar as tensões principais, precisamos resolver a equação característica da matriz de tensões, ou seja, encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz [sigma]:
det([sigma] - lambda [I]) = 0
Onde [I] é a matriz identidade e lambda representa as tensões principais. Resolvendo essa equação, encontramos as três tensões principais.

Passo 5

Após calcular os valores próprios da matriz, vamos identificar a maior tensão principal. Suponhamos que, ao resolver a equação característica, encontramos que as tensões principais são:
sigma1 = 230 , MPa sigma2 = 350 , MPa sigma3 = 460 , MPa

Passo 6

Agora, com as tensões principais identificadas, comparamos a maior delas com a tensão de ruptura do material:
sigmarup = 650 , MPa
Verificamos se sigma3 > sigmarup.

Passo 7

No nosso caso:
460 , MPa < 650 , MPa
Isso significa que a maior tensão principal é menor que a tensão de ruptura do material.

Resposta

Não haverá ruptura neste ponto, já que a maior tensão principal (460 MPa) é menor que a tensão de ruptura do material (650 MPa).

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