Considere um ponto de uma peça cujas tensões são dadas por:
Sabendo-se que a peça é confeccionada com um material frágil com sigma rup =650 MPa pode-se afirmar que haverá ruptura neste ponto?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício de Mecânica dos Sólidos, especificamente sobre Análise de Tensões. A gente precisa verificar se uma peça vai sofrer ruptura em um ponto específico, dado um estado de tensões e a tensão de ruptura do material. Pra resolver isso, vamos precisar entender como identificar se as tensões presentes vão ultrapassar o limite que o material suporta antes de quebrar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz de tensões que você me deu:
Essa matriz representa as tensões normais e de cisalhamento em diferentes direções no ponto considerado da peça. Nosso objetivo é descobrir se, em algum desses pontos, as tensões são altas o suficiente para causar a ruptura do material.
Passo 3
Para isso, vamos usar o Critério da Tensão Principal Máxima, que é bastante utilizado para materiais frágeis. Esse critério diz que a ruptura ocorre quando a maior tensão principal no material excede a tensão de ruptura (sigmarup).
Primeiro, precisamos encontrar as tensões principais (sigma1, sigma2, sigma3), que são as tensões máximas e mínimas que existem no ponto, sem considerar as direções de cisalhamento.
Passo 4
Para encontrar as tensões principais, precisamos resolver a equação característica da matriz de tensões, ou seja, encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz [sigma]:
det([sigma] - lambda [I]) = 0
Onde [I] é a matriz identidade e lambda representa as tensões principais. Resolvendo essa equação, encontramos as três tensões principais.
Passo 5
Após calcular os valores próprios da matriz, vamos identificar a maior tensão principal. Suponhamos que, ao resolver a equação característica, encontramos que as tensões principais são: