O campo de tensões de um dado componente foi calculado analiticamente e forneceu o seguinte resultado:
[sigma]=[ccc 3 x y & 0 & 0 0 & 5 y^2 & 0 0 & 0 & 2 z ] [MPa]
Calcule a posição deste componente que produzirá a maior tensão equivalente segundo a TMED.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tensão em um componente e envolve análise de tensões usando a TMED (Teoria de Tensão de Von Mises). A gente vai precisar entender como calcular a tensão equivalente a partir de um campo de tensões dado e depois encontrar a posição no componente que gera essa maior tensão equivalente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o campo de tensões. Nesse caso, o campo de tensões é representado por uma matriz diagonal:
[sigma]=[ccc 3xy & 0 & 0 0 & 5y^2 & 0 0 & 0 & 2z ] [MPa]
Isso significa que as tensões principais são:
  • sigmax = 3xy
  • sigmay = 5y^2
  • sigmaz = 2z

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a TMED (Teoria de Tensão de von Mises). Ela nos dá uma maneira de calcular uma tensão equivalente que é útil para prever quando um material vai começar a deformar plásticamente. A fórmula da tensão de von Mises ( sigmaeq) para um estado de tensão tridimensional é:
sigmaeq = raiz(sigmax - sigmay)^2 + (sigmay - sigmaz)^2 + (sigmaz - sigmax)^22

Passo 4

Nosso objetivo é maximizar essa tensão equivalente sigmaeq em função das variáveis x, y e z. Vamos substituir as expressões das tensões principais na fórmula:
sigmaeq = raiz(3xy - 5y^2)^2 + (5y^2 - 2z)^2 + (2z - 3xy)^22

Passo 5

Para encontrar a posição que maximiza sigmaeq, precisamos maximizar a expressão dentro da raiz quadrada, já que a raiz é uma função crescente. Então, vamos definir:
f(x, y, z) = (3xy - 5y^2)^2 + (5y^2 - 2z)^2 + (2z - 3xy)^22
E queremos encontrar os valores de x, y e z que maximizam f(x, y, z).

Passo 6

Vamos simplificar f(x, y, z):
f(x, y, z) = 2(3xy - 5y^2)^2 + 2(5y^2 - 2z)^22 = (3xy - 5y^2)^2 + (5y^2 - 2z)^2
Agora, vamos derivar parcialmente f em relação a x, y e z e igualar a zero para encontrar os pontos críticos.

Passo 7

Primeiro, derivamos em relação a x:
partial fpartial x = 2(3xy - 5y^2)(3y) + 0 = 6y(3xy - 5y^2)
Igualando a zero:
6y(3xy - 5y^2) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. y = 0
  2. 3xy - 5y^2 = 0 Rightarrow x = 53y

Passo 8

Agora, derivamos em relação a z:
partial fpartial z = 0 + 2(5y^2 - 2z)(-2) = -4(5y^2 - 2z)
Igualando a zero:
-4(5y^2 - 2z) = 0 Rightarrow 5y^2 - 2z = 0 Rightarrow z = 52y^2

Passo 9

Por fim, derivamos em relação a y:
partial fpartial y = 2(3xy - 5y^2)(3x - 10y) + 2(5y^2 - 2z)(10y) = 0
Substituindo z = 52y^2 na equação:
2(3xy - 5y^2)(3x - 10y) + 2(5y^2 - 2(52y^2))(10y) = 0
Simplificando:
2(3xy - 5y^2)(3x - 10y) + 2(0)(10y) = 0 Rightarrow (3xy - 5y^2)(3x - 10y) = 0
Isso novamente nos dá:
  1. 3xy - 5y^2 = 0 Rightarrow x = 53y
  2. 3x - 10y = 0 Rightarrow x = 103y

Passo 10

Vamos analisar as soluções:
  1. Se y = 0, então de z = 52y^2, temos z = 0. E de x = 53y, temos x = 0. Então, o ponto é (0, 0, 0).
  2. Se x = 53y, e z = 52y^2, não há restrição sobre y, o que sugere que sigmaeq pode aumentar indefinidamente à medida que y aumenta, levando a tensões maiores.
  3. Se x = 103y, isso contradiz a solução anterior a menos que y = 0, que já consideramos.

Passo 11

Dessa forma, a única posição que nos dá uma solução finita é (0, 0, 0), mas isso significa que a tensão equivalente é zero nesse ponto. Para tensões maiores, as variáveis não têm restrições, indicando que a tensão equivalente pode se tornar arbitrariamente grande conforme y aumenta.

Resposta

A posição que produz a maior tensão equivalente segundo a TMED ocorre quando as variáveis x, y e z aumentam indefinidamente, ou seja, não há um ponto finito específico no componente onde a tensão equivalente é máxima.

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