O campo de tensões de um dado componente foi calculado analiticamente e forneceu o seguinte resultado:
Calcule a posição deste componente que produzirá a maior tensão equivalente segundo a TMED.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre tensão em um componente e envolve análise de tensões usando a TMED (Teoria de Tensão de Von Mises). A gente vai precisar entender como calcular a tensão equivalente a partir de um campo de tensões dado e depois encontrar a posição no componente que gera essa maior tensão equivalente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o campo de tensões. Nesse caso, o campo de tensões é representado por uma matriz diagonal:
Agora, vamos falar sobre a TMED (Teoria de Tensão de von Mises). Ela nos dá uma maneira de calcular uma tensão equivalente que é útil para prever quando um material vai começar a deformar plásticamente. A fórmula da tensão de von Mises (sigmaeq) para um estado de tensão tridimensional é:
Nosso objetivo é maximizar essa tensão equivalente sigmaeq em função das variáveis x, y e z. Vamos substituir as expressões das tensões principais na fórmula:
Para encontrar a posição que maximiza sigmaeq, precisamos maximizar a expressão dentro da raiz quadrada, já que a raiz é uma função crescente. Então, vamos definir:
Se y = 0, então de z = 52y^2, temos z = 0. E de x = 53y, temos x = 0. Então, o ponto é (0, 0, 0).
Se x = 53y, e z = 52y^2, não há restrição sobre y, o que sugere que sigmaeq pode aumentar indefinidamente à medida que y aumenta, levando a tensões maiores.
Se x = 103y, isso contradiz a solução anterior a menos que y = 0, que já consideramos.
Passo 11
Dessa forma, a única posição que nos dá uma solução finita é (0, 0, 0), mas isso significa que a tensão equivalente é zero nesse ponto. Para tensões maiores, as variáveis não têm restrições, indicando que a tensão equivalente pode se tornar arbitrariamente grande conforme y aumenta.
Resposta
A posição que produz a maior tensão equivalente segundo a TMED ocorre quando as variáveis x, y e z aumentam indefinidamente, ou seja, não há um ponto finito específico no componente onde a tensão equivalente é máxima.