Um dado ponto de uma peça de aço está submetida à tensões principais de 200 MPa e 100 MPa . Qual deve ser a tensão de escoamento do material a ser utilizado a fim de fornecer um coeficiente de segurança n=2 para o escoamento segundo: (a) a teoria da máxima tensão cisalhante e (b) a teoria da máxima energia de distorção ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um ponto numa peça de aço submetido a duas tensões principais: 200 MPa e 100 MPa. Queremos descobrir qual a tensão de escoamento que o material precisa ter para garantir um coeficiente de segurança . Vamos fazer isso usando duas teorias de escoamento: (a) a teoria da máxima tensão cisalhante (também conhecida como teoria de Tresca) e (b) a teoria da máxima energia de distorção (ou teoria de von Mises). Para resolver isso, vamos precisar entender essas duas teorias e aplicá-las às tensões dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre a teoria da máxima tensão cisalhante (Teoria de Tresca). Essa teoria diz que o escoamento ocorre quando a máxima diferença entre as tensões principais atinge a tensão de escoamento do material. Ou seja, a condição de escoamento é quando:
sigma1 - sigma2 = sigmae
onde e são as tensões principais e é a tensão de escoamento.

Passo 3

Agora, para garantir um coeficiente de segurança sigmae = sigma1 - sigma2n , a tensão de escoamento deve ser o dobro da tensão que queremos que o material suporte. Então, a condição fica:
sigmae = 200, MPa - 100, MPa2 = 100, MPa2 = 50, MPa
Substituindo os valores:
Portanto, segundo a teoria da máxima tensão cisalhante, a tensão de escoamento necessária é 50 MPa.

Passo 4

Agora, vamos para a teoria da máxima energia de distorção (Teoria de von Mises). Essa teoria sugere que o escoamento ocorre quando uma combinação das tensões principais atinge a tensão de escoamento do material. A condição de escoamento segundo von Mises é dada por:
sigmae = sigma1 - sigma2raiz3
E com o coeficiente de segurança, ficaria:
sigmae = sigma1 - sigma2n cdot raiz3

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula:
sigmae = 200, MPa - 100, MPa2 cdot raiz3 = 100, MPa2 cdot 1,732 approx 100, MPa3,464 approx 28,9, MPa
Então, segundo a teoria da máxima energia de distorção, a tensão de escoamento necessária é aproximadamente 28,9 MPa.

Resposta

(a) Teoria da máxima tensão cisalhante (Tresca): A tensão de escoamento necessária é 50 MPa.
(b) Teoria da máxima energia de distorção (von Mises): A tensão de escoamento necessária é aproximadamente 28,9 MPa.

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