Construa o Círculo de Mohr para os estados de tensões dados a seguir e obtenha, para cada um deles, as variáveis:
a. Raio do círculo;
b. tensão normal máxima (sigma máx )á;
c. tensão normal mínima ( sigma min );
d. tensão cisalhante máxima ( tau máx á );
e. ângulo de tensões principais;
f. realize a representação geométrica dos estados de tensões (com o elemento de volume na orientação adequada) correspondentes ao estado original, tensões principais e tensão cisalhante máxima.
10.1) T=[cc-20, & -60, -60, & 60,] M P a;
10.2) T=[cc60, & -60, -60, & -20,] MPa;
10.3) T=[cc0, & 100, 100, & 0,] M P a;
10.4) T=[cc-50, & 0, 0, & 50,] M P a;
10.5) T=[cc50, & 0, 0, & 50,] M P a.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de Construção do Círculo de Mohr para cada estado de tensões dado. O conteúdo principal aqui é a Teoria das Tensões e o Círculo de Mohr. Vamos precisar entender como identificar as tensões normais e cisalhantes, calcular o raio do círculo, encontrar as tensões máximas e mínimas, além de determinar o ângulo das tensões principais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as tensões normais ( sigmax e sigmay) e a tensão cisalhante ( tauxy) da matriz de tensões fornecida. Por exemplo, para o item 10.1:
T = -20 & -60 -60 & 60 MPa
Aqui, sigmax = -20 MPa, sigmay = 60 MPa e tauxy = -60 MPa.

Passo 3

Vamos calcular o raio do Círculo de Mohr usando a fórmula:
R = raiz(sigmax - sigmay2)^2 + tauxy^2
Substituindo os valores:
R = raiz(-20 - 602)^2 + (-60)^2 = raiz(-40)^2 + 3600 = raiz1600 + 3600 = raiz5200 approx 72,11 MPa

Passo 4

Agora, vamos encontrar as tensões normais máxima ( sigmamáxá) e mínima ( sigmamin) que são os extremos do Círculo de Mohr. Elas são calculadas pela média das tensões mais e menos o raio:
sigmamáx = sigmax + sigmay2 + R = -20 + 602 + 72,11 = 20 + 72,11 = 92,11 MPa á
sigmamin = sigmax + sigmay2 - R = 20 - 72,11 = -52,11 MPa

Passo 5

A tensão cisalhante máxima ( taumáxá) no Círculo de Mohr é igual ao próprio raio:
taumáx = R = 72,11 MPa á

Passo 6

Para encontrar o ângulo das tensões principais, usamos a fórmula:
thetap = 12 arctan(2tauxysigmax - sigmay)
Substituindo os valores:
thetap = 12 arctan(2 times (-60)-20 - 60) = 12 arctan(-120-80) = 12 arctan(1,5) approx 12 times 56,31^circ approx 28,16^circ

Passo 7

Por fim, para a representação geométrica, desenhamos o Círculo de Mohr com centro em (sigmax + sigmay2, 0), raio R, e marcamos os pontos correspondentes às tensões principais e à tensão cisalhante máxima. O elemento de volume é orientado de forma que suas faces principais estejam alinhadas com os eixos do círculo.

Passo 8

Agora, vamos resolver o item 10.2 usando o mesmo processo. O conteúdo continua sendo a Teoria das Tensões e o Círculo de Mohr.

Passo 9

Identificamos as tensões da matriz:
T = 60 & -60 -60 & -20 MPa
Aqui, sigmax = 60 MPa, sigmay = -20 MPa e tauxy = -60 MPa.

Passo 10

Calculamos o raio do círculo:
R = raiz(60 - (-20)2)^2 + (-60)^2 = raiz(40)^2 + 3600 = raiz1600 + 3600 = raiz5200 approx 72,11 MPa

Passo 11

Encontramos as tensões normais máxima e mínima:
sigmamáx = 60 + (-20)2 + 72,11 = 402 + 72,11 = 20 + 72,11 = 92,11 MPa á
sigmamin = 20 - 72,11 = -52,11 MPa

Passo 12

A tensão cisalhante máxima é igual ao raio:
taumáx = 72,11 MPa á

Passo 13

Calculamos o ângulo das tensões principais:
thetap = 12 arctan(2 times (-60)60 - (-20)) = 12 arctan(-12080) = 12 arctan(-1,5) approx 12 times (-56,31^circ) approx -28,16^circ

Passo 14

Desenhamos o Círculo de Mohr com os valores calculados e orientamos o elemento de volume conforme necessário.

Resposta

Para o item 10.2, os resultados são:
a. Raio do círculo: 72,11 MPa
b. Tensão normal máxima ( sigmamáxá): 92,11 MPa
c. Tensão normal mínima ( sigmamin): -52,11 MPa
d. Tensão cisalhante máxima ( taumáxá): 72,11 MPa
e. Ângulo de tensões principais ( thetap): -28,16^circ
f. Representação geométrica: Desenho do Círculo de Mohr com os valores acima marcados e o elemento de volume orientado conforme especificado.
Repita esse processo para os itens 10.3, 10.4 e 10.5 seguindo os mesmos passos para obter todas as respostas necessárias.

Exercícios relacionados