Tendo como base um problema em estado plano de tensões e o material do tipo MELI, obtenha a expressão final para a densidade de energia de deformação (aqui abreviada por DED e denotada U) escrita em função das tensões e deformações. Estenda essa expressão para um problema geral 3D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão final para a densidade de energia de deformação (U) em um problema de estado plano de tensões para um material do tipo MELI. Depois, a gente precisa estender essa expressão para um problema 3D. Vamos precisar entender um pouco de mecânica dos materiais, especificamente a teoria da elasticidade, e usar algumas fórmulas que relacionam tensões e deformações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é densidade de energia de deformação (U). Basicamente, é a energia armazenada no material quando ele sofre deformação. Para materiais lineares e elásticos, essa energia pode ser expressa em função das tensões e das deformações.
Passo 3
Em um estado plano de tensões, consideramos que uma das direções não tem tensão, geralmente a direção
. Então, temos somente as tensões
,
e
. A relação entre tensões e deformações para um material elástico pode ser descrita pelas equações de Hooke.
Passo 4
A expressão geral para a densidade de energia de deformação em estado plano de tensões é dada por:
Aqui,
e
são as deformações normais nas direções
e
, e
é a deformação de cisalhamento.
Passo 5
Para expressar
totalmente em função das tensões, precisamos relacionar as deformações (
,
,
) com as tensões (
,
,
) usando as constantes do material, como o módulo de Young
e o coeficiente de Poisson
.
As relações de deformação são:
Onde
é o módulo de cisalhamento, relacionado ao módulo de Young e ao coeficiente de Poisson por
.
Passo 6
Substituindo essas expressões de
,
e
na equação de
, temos:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Agora, como
, podemos substituir:
Passo 8
Para deixar a expressão mais elegante, vamos fatorar
:
Passo 9
Agora, para estender essa expressão para o caso geral 3D, incluímos também as tensões e deformações na direção
, ou seja,
,
,
e
. A densidade de energia de deformação em 3D fica:
Resposta
A densidade de energia de deformação
para um problema de estado plano de tensões é
E, estendendo para um problema geral 3D, temos