Tendo como base um problema em estado plano de tensões e o material do tipo MELI, obtenha a expressão final para a densidade de energia de deformação (aqui abreviada por DED e denotada U) escrita em função das tensões e deformações. Estenda essa expressão para um problema geral 3D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a expressão final para a densidade de energia de deformação (U) em um problema de estado plano de tensões para um material do tipo MELI. Depois, a gente precisa estender essa expressão para um problema 3D. Vamos precisar entender um pouco de mecânica dos materiais, especificamente a teoria da elasticidade, e usar algumas fórmulas que relacionam tensões e deformações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é densidade de energia de deformação (U). Basicamente, é a energia armazenada no material quando ele sofre deformação. Para materiais lineares e elásticos, essa energia pode ser expressa em função das tensões e das deformações.

Passo 3

Em um estado plano de tensões, consideramos que uma das direções não tem tensão, geralmente a direção . Então, temos somente as tensões , e . A relação entre tensões e deformações para um material elástico pode ser descrita pelas equações de Hooke.

Passo 4

A expressão geral para a densidade de energia de deformação em estado plano de tensões é dada por:
U = 12 (sigmax epsilonx + sigmay epsilony + 2 tauxy gammaxy)
Aqui, e são as deformações normais nas direções e , e é a deformação de cisalhamento.

Passo 5

Para expressar epsilonx = 1E (sigmax - nu sigmay) totalmente em função das tensões, precisamos relacionar as deformações ( epsilony = 1E (sigmay - nu sigmax) , gammaxy = tauxyG , ) com as tensões ( , , ) usando as constantes do material, como o módulo de Young e o coeficiente de Poisson .
As relações de deformação são:
Onde é o módulo de cisalhamento, relacionado ao módulo de Young e ao coeficiente de Poisson por .

Passo 6

Substituindo essas expressões de U = 12 [ sigmax ( sigmax - nu sigmayE ) + sigmay ( sigmay - nu sigmaxE ) + 2 tauxy ( tauxyG ) ] , e na equação de , temos:

Passo 7

Simplificando a expressão:
U = 12E (sigmax^2 + sigmay^2 - 2nu sigmax sigmay) + tauxy^2G
Agora, como U = 12E (sigmax^2 + sigmay^2 - 2nu sigmax sigmay) + 2(1+nu)tauxy^2E , podemos substituir:

Passo 8

Para deixar a expressão mais elegante, vamos fatorar U = 12E ( sigmax^2 + sigmay^2 - 2nu sigmax sigmay + 4(1+nu)tauxy^2 ) :

Passo 9

Agora, para estender essa expressão para o caso geral 3D, incluímos também as tensões e deformações na direção U = 12E ( sigmax^2 + sigmay^2 + sigmaz^2 - 2nu (sigmax sigmay + sigmax sigmaz + sigmay sigmaz) + 4(1+nu)(tauxy^2 + tauxz^2 + tauyz^2) ) , ou seja, , , e . A densidade de energia de deformação em 3D fica:

Resposta

A densidade de energia de deformação U = 12E ( sigmax^2 + sigmay^2 - 2nu sigmax sigmay + 4(1+nu)tauxy^2 ) para um problema de estado plano de tensões é
U = 12E ( sigmax^2 + sigmay^2 + sigmaz^2 - 2nu (sigmax sigmay + sigmax sigmaz + sigmay sigmaz) + 4(1+nu)(tauxy^2 + tauxz^2 + tauyz^2) )
E, estendendo para um problema geral 3D, temos

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