Um material com estrutura cúbica de face centrada (FCC) apresenta picos de difração a
, e
usando uma radiação de comprimento de onda de 1.54 Å. Indexe os picos (determine os planos (hkl)) e calcule o parâmetro de rede (a) do cristal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um material com estrutura cúbica de face centrada (FCC) e estão dadas três posições de picos de difração em ângulos
,
e
, usando uma radiação com comprimento de onda
Å. Nosso objetivo é identificar quais planos cristalinos
correspondem a cada pico e calcular o parâmetro de rede
do cristal. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Bragg e as características dos cristais FCC.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração com os planos cristalinos:
Onde:
-
é a ordem de difração (vamos considerar ), -
é o comprimento de onda da radiação, -
é a distância entre os planos cristalinos, -
é o ângulo de incidência.
Passo 3
Para estruturas FCC, os planos mais comuns que aparecem na difração são aqueles cujos índices
satisfazem a condição
,
,
todos pares ou todos ímpares. Além disso, os valores de
estão relacionados ao parâmetro de rede
pela fórmula:
Passo 4
Vamos calcular
para cada pico usando a Lei de Bragg rearranjada:
Como
, temos:
Vamos calcular
para cada
dado.
Passo 5
Convertendo os ângulos
para
:
- Para
, - Para
, - Para
,
Passo 6
Calculando
para cada
:
-
Å -
Å -
Å
Passo 7
Agora, usamos a relação para a estrutura FCC:
Queremos encontrar os valores de
que correspondem aos
calculados. Para FCC, os valores possíveis são
,
,
, etc.
Passo 8
Calculamos a razão entre os diferentes
:
Comparamos essas razões com as razões das raízes quadradas dos números possíveis para FCC:
Observamos que
é próximo de
, indicando que
corresponde a
e
a
. Assim,
corresponderia a outro plano, possivelmente
.
Passo 9
Determina-se então os índices:
-
: -
: -
:
Passo 10
Agora, para encontrar o parâmetro de rede
, usamos a relação para um dos planos. Vamos usar
:
Sabemos que
Å, então:
Resposta
Os planos cristalinos indexados são
para
,
para
e
para
. O parâmetro de rede do cristal é aproximadamente
Å.