Um material com estrutura cúbica de face centrada (FCC) apresenta picos de difração a 2 theta=40.5^circ, 47.3^circ, e 69.8^circ usando uma radiação de comprimento de onda de 1.54 Å. Indexe os picos (determine os planos (hkl)) e calcule o parâmetro de rede (a) do cristal.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um material com estrutura cúbica de face centrada (FCC) e estão dadas três posições de picos de difração em ângulos 2 theta = 40.5^circ, 47.3^circ e 69.8^circ, usando uma radiação com comprimento de onda lambda = 1.54 Å. Nosso objetivo é identificar quais planos cristalinos (hkl) correspondem a cada pico e calcular o parâmetro de rede a do cristal. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Bragg e as características dos cristais FCC.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Bragg, que relaciona o ângulo de difração com os planos cristalinos:
nlambda = 2dsintheta
Onde:
  • n é a ordem de difração (vamos considerar n=1),
  • lambda é o comprimento de onda da radiação,
  • d é a distância entre os planos cristalinos,
  • theta é o ângulo de incidência.

Passo 3

Para estruturas FCC, os planos mais comuns que aparecem na difração são aqueles cujos índices (hkl) satisfazem a condição h, k, l todos pares ou todos ímpares. Além disso, os valores de d estão relacionados ao parâmetro de rede a pela fórmula:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2

Passo 4

Vamos calcular dhkl para cada pico usando a Lei de Bragg rearranjada:
d = nlambda2sintheta
Como n=1, temos:
d = lambda2sintheta
Vamos calcular d para cada 2theta dado.

Passo 5

Convertendo os ângulos 2theta para theta:
  • Para 2theta = 40.5^circ, theta = 20.25^circ
  • Para 2theta = 47.3^circ, theta = 23.65^circ
  • Para 2theta = 69.8^circ, theta = 34.9^circ

Passo 6

Calculando d para cada theta:
  1. d1 = 1.542 sin(20.25^circ) approx 1.542 times 0.346 approx 1.540.692 approx 2.23 Å
  2. d2 = 1.542 sin(23.65^circ) approx 1.542 times 0.403 approx 1.540.806 approx 1.91 Å
  3. d3 = 1.542 sin(34.9^circ) approx 1.542 times 0.569 approx 1.541.138 approx 1.35 Å

Passo 7

Agora, usamos a relação para a estrutura FCC:
dhkl = araizh^2 + k^2 + l^2
Queremos encontrar os valores de raizh^2 + k^2 + l^2 que correspondem aos d calculados. Para FCC, os valores possíveis são raizh^2 + k^2 + l^2 = raiz3, raiz8, raiz11, etc.

Passo 8

Calculamos a razão entre os diferentes d:
d1d2 = 2.231.91 approx 1.17 d1d3 = 2.231.35 approx 1.65
Comparamos essas razões com as razões das raízes quadradas dos números possíveis para FCC:
raiz8raiz3 approx 1.633 raiz11raiz3 approx 1.915
Observamos que d1d3 approx 1.65 é próximo de raiz8raiz3 approx 1.633, indicando que d1 corresponde a (111) e d3 a (220). Assim, d2 corresponderia a outro plano, possivelmente (200).

Passo 9

Determina-se então os índices:
  • 2theta = 40.5^circ: (111)
  • 2theta = 47.3^circ: (200)
  • 2theta = 69.8^circ: (220)

Passo 10

Agora, para encontrar o parâmetro de rede a, usamos a relação para um dos planos. Vamos usar (111):
d111 = araiz1^2 + 1^2 + 1^2 = araiz3
Sabemos que d111 approx 2.23 Å, então:
a = d111 times raiz3 approx 2.23 times 1.732 approx 3.86 Å Å

Resposta

Os planos cristalinos indexados são (111) para 2theta = 40.5^circ, (200) para 2theta = 47.3^circ e (220) para 2theta = 69.8^circ. O parâmetro de rede do cristal é aproximadamente a = 3.86 Å.

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