Derive a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca para um cristal qualquer

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente derivar a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca de um cristal qualquer. Então, estamos trabalhando com cristalografia, mais especificamente com os conceitos de espaço direto e espaço recíproco. Para resolver isso, vamos precisar entender como as células unitárias são definidas nesses espaços e como calcular seus volumes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as células unitárias direta e recíproca. A célula unitária direta é a menor unidade repetitiva que, ao ser traduzida ao longo dos eixos cristalográficos, gera todo o cristal. Ela é definida por três vetores de base: a, b e c. O volume dessa célula, chamado de volume da célula direta, é dado pelo produto misto desses vetores:
Vdireta = a cdot (b times c)

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a célula unitária recíproca. Ela é definida no espaço recíproco e também tem três vetores de base, geralmente chamados de a^*, b^* e c^*. O volume dessa célula recíproca, Vrecíprocaí, é calculado de forma similar:
Vrecíproca = a^* cdot (b^* times c^*) í

Passo 4

Para relacionar os volumes das células diretas e recíprocas, precisamos lembrar que os vetores recíprocos são definidos de forma a satisfazer as seguintes condições de ortogonalidade:
a^* cdot a = 1, a^* cdot b = 0, a^* cdot c = 0
E assim por diante para b^* e c^*. Essas relações garantem que os espaços direto e recíproco estão interligados de maneira específica.

Passo 5

Sabendo disso, uma propriedade importante é que o produto dos volumes das células direta e recíproca é igual a (2pi)^3. Vamos expressar isso matematicamente:
Vdireta times Vrecíproca = (2pi)^3 í
Isso significa que os volumes são inversamente proporcionais, ajustados por um fator de (2pi)^3.

Resposta

Portanto, a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca é:
Vdireta times Vrecíproca = (2pi)^3 í

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