Derive a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca para um cristal qualquer
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente derivar a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca de um cristal qualquer. Então, estamos trabalhando com cristalografia, mais especificamente com os conceitos de espaço direto e espaço recíproco. Para resolver isso, vamos precisar entender como as células unitárias são definidas nesses espaços e como calcular seus volumes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são as células unitárias direta e recíproca. A célula unitária direta é a menor unidade repetitiva que, ao ser traduzida ao longo dos eixos cristalográficos, gera todo o cristal. Ela é definida por três vetores de base:
,
e
. O volume dessa célula, chamado de volume da célula direta, é dado pelo produto misto desses vetores:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a célula unitária recíproca. Ela é definida no espaço recíproco e também tem três vetores de base, geralmente chamados de
,
e
. O volume dessa célula recíproca,
, é calculado de forma similar:
Passo 4
Para relacionar os volumes das células diretas e recíprocas, precisamos lembrar que os vetores recíprocos são definidos de forma a satisfazer as seguintes condições de ortogonalidade:
E assim por diante para
e
. Essas relações garantem que os espaços direto e recíproco estão interligados de maneira específica.
Passo 5
Sabendo disso, uma propriedade importante é que o produto dos volumes das células direta e recíproca é igual a
. Vamos expressar isso matematicamente:
Isso significa que os volumes são inversamente proporcionais, ajustados por um fator de
.
Resposta
Portanto, a relação entre os volumes das células unitárias direta e recíproca é: